Question

Encontre as derivadas de ordem superior (fxy e fyy) pedidas a seguir: f(x,y) = e^(xy) + senx

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Derivadas parciais

Dada a função :

$\sf{ \red{ f(x,y)~=~ e^{xy} + \sin(x) } }$

Achar as derivadas ( fxy e fyy)

Primeiro devemos saber que :

$\boxed{ \sf{ (e^u)' ~=~ e^u * u' } }$

Item A) Então vamos achar a fxy :

Primeiro vamos vamos achar a derivada primeira em relação a x :

$\sf{ \iff \dfrac{\partial f}{\partial x}~=~ f_{x}~=~ e^{xy}*(xy)' + (\sin(x))' }$

$\iff \sf{ f_{x}~=~ ye^{xy} + \cos(x) }$

Achando a fxy :

$\sf{ \dfrac{ \partial }{\partial y}\Big( \dfrac{\partial f}{\partial x}\Big) ~=~ f_{xy}~=~ [ y'*e^{xy} + y*(e^{xy})' ] + \cos'(x) }$

$\iff \sf{ \dfrac{ \partial^2 f}{\partial y\partial x}~=~ e^{xy} + y*(xy)'*e^{xy} }$

$\iff \sf{ \dfrac{ \partial^2 f}{\partial y\partial x}~=~ (1 + xy)e^{xy} }$

$\pink{ \iff \boxed{\boxed{ \sf{ f_{xy}~=~ (1 + xy)e^{xy} } } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

________________________________________________________

Item B) Achar a fyy ( Derivada segunda em relação a y) :

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial y}~=~ f_{y}~=~ (xy)'*e^{xy} + \sin'(x) }$

$\iff \sf{ \dfrac{ \partial f}{\partial y}~=~ xe^{xy} + 0 }$

$\iff \sf{ \dfrac{\partial }{\partial y}\Big( \dfrac{\partial f}{\partial y}\Big)~=~ f_{yy}~=~ x*(xy)'*e^{xy} }$

$\green{\iff \boxed{ \boxed{ \sf{ f_{yy}~=~ x^2e^{xy} } } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)