Question

Encontre as derivadas das funções abaixo e simplifique–as quando possível. y= 3.cosx + 5.x^2 e f(x)= 2/x^5

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\sf y = 3cos(x) + 5x {}^{2} \: \: \: \sf e \: \: \: \sf f(x) = \frac{2}{x {}^{5} }$

• Primeira função:

Vamos seguir a ordem das funções fornecidas, ou seja vamos derivar primeiro a função "y":

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (3cosx + 5x {}^{2} )$

Nós sabemos que a derivada da soma ou subtração de duas ou mais funções é igual a derivada de cada uma das funções envolvidas:

$\boxed{ \boxed{ \sf \frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)}}$

Aplicando essa propriedade:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}3cosx + \frac{d}{dx} 5x {}^{2}$

Agora devemos lembrar da derivada do cosseno e a derivada da potência:

$\sf \frac{d}{dx} cos(u) = - sen(u). \frac{du}{dx} \\ \sf e \\ \sf \frac{d}{dx} x {}^{n} = n.x {}^{n - 1} \: \: \: \: \:$

Aplicando mais uma propriedade:

$\boxed{ \boxed{ \sf \frac{dy}{dx} = - 3sen(x) + 10x}}$

Essa é a primeira resposta.

• Segunda função:

$\sf f(x) = \frac{2}{x {}^{5} }$

Para derivar essa função, podemos ver essa fração com a divisão de duas funções, ou seja, para derivar devemos usar a regra do quociente:

$\boxed{ \boxed{ \sf \frac{d}{dx} [ f(x)/g(x)] = \frac{ \frac{d}{dx} [f(x)] .g(x) - f(x). \frac{d}{dx} [g(x)] }{ [g(x)] {}^{2} } }}$

Digamos que a função f(x) seja o número 2 e a função g(x) a função x⁵, então:

$\sf \frac{d}{dx} [ f(x)/g(x)] = \frac{ \frac{d}{dx}(2).x {}^{5} - 2. \frac{d}{dx} (x {}^{5}) }{ [(x {}^{2}) ] {}^{5} } \\ \\ \sf \frac{d}{dx} [ f(x)/g(x)] = \frac{0.x {}^{5} - 2.5x {}^{4} }{x {}^{10} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{d}{dx} [ f(x)/g(x)] = \frac{ - 10x {}^{4} }{x {}^{10} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\boxed{\sf \frac{d}{dx} [ f(x)/g(x)] = \frac{ - 10}{ {x}^{6} } }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado