Question

Encontre as correntes i1, i2 e i3 do circuito abaixo

Answer 1

Vamos utilizar a Lei de Kirchhoff da Tensões, que nos diz que a soma das tensões em um caminho fechado (malha) deve ser igual a 0 (zero).

Pra isso vamos atentar aos ramos no circuito dado e as correntes de malha previamente convencionadas.

Ramo A-D: Flui a corrente de malha I₂, sentido horário.

Ramo A-C: Fluem as correntes de malha I₁ e I₂. a primeira no sentido C-A e a segunda no sentido A-C.

Ramo D-C: Fluem as correntes de malha I₂ e I₃. a primeira no sentido D-C e a segunda no sentido C-D.

Ramo D-B: Flui a corrente de malha I₃, sentido horário.

Ramo C-B: Fluem as correntes I₁ e I₃. a primeira no sentido C-B e a segunda no sentido B-C.

Consideremos agora as três malhas (ADCA, CDBC e ACBA).

Com auxilio das leis de Ohm e do Principio da Superposição, vamos agora montar as equações da LKT:

Análise da Malha ADCA no sentido horário:

$\sf -R_{3 \Omega}\cdot I_2~-~R_{6\Omega}\cdot (I_2~-~I_3)~-~R_{5\Omega}\cdot (I_2~-~I_1)~=~0\\\\\\-3\cdot I_2~-~6\cdot I_2~+~6\cdot I_3~-~5\cdot I_2~+~5\cdot I_1~=~0\\\\\\\boxed{\sf 5I_1~-~14I_2~+~6I_3~=~0}~~Equacao~1$

Análise da Malha CDBC no sentido horário:

$\sf -R_{6\Omega}\cdot (I_3~-~I_2)~-~R_{4\Omega}\cdot I_3~-~R_{2\Omega}\cdot (I_3~-~I_1)~=~0\\\\\\-6\cdot I_3~+~6\cdot I_2~-~4\cdot I_3~-~2\cdot I_3~+~2\cdot I_1~=~0\\\\\\2I_1~+~6I_2~-~12I_3~=~0\\\\\\\boxed{\sf I_1~+~3I_2~-~6I_3~=~0}~~Equacao~2$

Análise da Malha ACBA no sentido horário:

$\sf +V_{5V}~-~R_{5\Omega}\cdot (I_1~-~I_2)~-~R_{2\Omega}\cdot (I_1~-~I_3)~=~0\\\\\\5~-~5\cdot I_1~+~5\cdot I_2~-~2\cdot I_1~+~2\cdot I_3~=~0\\\\\\-7I_1~+~5I_2~+~2I_3~=\,-5\\\\\\\boxed{\sf 7I_1~-~5I_2~-~2I_3~=~5}~~ Equacao~3$

Juntando as três equações em um sistema de equações, como é mostrado abaixo, poderemos utilizar qualquer método conhecido/favorito para a resolução de sistemas de equações lineares (Adição, Substituição, Escalonamento...).

Esse processo não será abordado nesta resolução, já que não é o foco do exercício.

$\left\{\begin{array}{c}\sf 5I_1~-~14I_2~+~6I_3~=~0\\\sf I_1~+~3I_2~-~6I_3~=~0\\\sf 7I_1~-~5I_2~-~2I_3~=~5\end{array}\right.$

Resolvendo o sistema, chegaremos às correntes:

$\boxed{\begin{array}{l}\sf I_1~=~\dfrac{165}{112}~A~~ou~~ I_1\approx~1,473~A\\\sf I_2~=~\dfrac{45}{56}~A~~\,~ou~~I_2~\approx~804~mA\\\sf I_3~=~\dfrac{145}{224}~A~~ou~~I_3~\approx~647~mA\end{array}}$

Obs.: O valor positivo das correntes nos indica que a convenção utilizada no sentido das três correntes (horário) estava correto.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$