Question

encontre as coordenadas do ponto de minimo local da seguinte função de custo de um certo produto Cx=x³ -3 x ² -24 +180

Answer 1

$C(x)=x^{3}-3x^{2}-24x+180\\ \\ C'(x)=3x^{2}-6x-24\\ \\C''(x)=6x-6$


Passo 1: Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s) da função de custo:

$C'(x)=0\\ \\ 3x^{2}-6x-24=0\\ \\ 3\cdot \left(x^{2}-2x-8 \right )=0\\ \\ x^{2}-2x-8=0\\ \\ x^{2}+2x-4x-8=0\\ \\ x\cdot \left(x+2 \right )-4\cdot \left(x+2 \right )=0\\ \\ \left(x+2 \right )\cdot \left(x-4 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x+2=0&\text{ ou }&x-4=0\\ \\ x_{1}=-2&\text{ e }&x_{2}=4 \end{array}$


Passo 2: Aplicando o teste da segunda derivada aos pontos críticos:

Seja $x_{i}$ um ponto crítico da função de custo. Temos então que

$(i)\;\;$ Se $C''(x_{i})>0$, então a função tem um mínimo local em $x=x_{i}$;

$(ii)\;\;$ Se $C''(x_{i})<0$, então a função tem um máximo local em $x=x_{i}$;

$(iii)\;\;$ Se $C''(x_{i})=0$, nada se pode afirmar sobre o comportamento da função em $x=x_{i}$.


$\bullet\;\;$ Para $x_{1}=-2$

$C''(-2)=6\cdot \left(-2 \right )-6\\ \\ C''(-2)=-12-6\\ \\ C''(-2)=-18<0$


Logo, $x=-2$ é a abscissa de um ponto de máximo local.


$\bullet\;\;$ Para $x_{2}=4$

$C''(4)=6\cdot 4-6\\ \\ C''(4)=24-6\\ \\ C''(4)=18>0$


Logo, $x=4$ é a abscissa de um ponto de mínimo local. Este é o ponto procurado.


Encontrando a ordenada (coordenada $y$) do ponto:

$y=C\left(4 \right )\\ \\ y=\left(4 \right )^{3}-3\cdot \left(4 \right )^{2}-24\cdot \left(4 \right )+180\\ \\ y=64-3\cdot 16-96+180\\ \\ y=64-48-96+180\\ \\ y=100$


O ponto de mínimo local é o ponto $\left(4,\,100 \right ).$