Question

Encontre as coordenadas do ponto de mínimo local da seguinte Função de
Custo de um certo produto: C(x) = x³- 9x²+ 220.

Answer 1

$C(x)=x^3-9x^2+220$

derivando a função
$C'(x)=3x^{3-1}-9*2x^{2-1}+0\\\\\boxed{C'(x)=3x^2-18x}$

igualando a derivada da função a 0 você tem os pontos críticos

$C'(x)=0\\\\3x^2-18x=0\\\\\boxed{3x*(x-6)=0}$

isso só vai dar 0 quando
x=0 ou x=6
esses são os pontos críticos...podem ser máximos ou mínimos locais

calculando a segunda derivada

$C''(x)=3*2x^{2-1}-18*1\\\\C''(x)=6x-18$



calculando o valor de C''(x) nos pontos criticos se

$C''(x) \ \textgreater \ 0 \text{ entao esse ponto eh MINIMO local}\\\\C''(x)\ \textless \ 0\text{ entao esse ponto eh MAXIMO local}$

calculando pra x=0

$C''(0) = 6*0-18\\\\C''(0) = -18 \to \text{ Ponto de Maximo Local}$
para x =6

$C''(6)=6*6-18\\\\C''(6)=18 \to \text{Ponto de MINIMO Local}$


queremos o mínimo então
calculando o valor da função quando x=6

$f(x)=x^3-9x^2+220\\\\f(6)=6^3-9*6^2+220\\\\f(6)=112$

o ponto procurado é 
(6;112)