Question

encontre as assintotas horizontais e verticais de cada curva, esboce os graficos:
f(x)=2x+1/x-2

Answer 1

Olá

Para determinar a assíntota vertical, vamos fazer o X tender ao infinito

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{2x+1}{x-2} \\ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{x*(2 + 1/x)}{x.(1 - 2/x)} \\ \\ \lim_{x \to \infty} f(x) = 2/1 = 2$

Portanto, você tem uma assíntota vertical em X = 2

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Para determinar a assíntota horizontal temos que pegar o denominador e igualar a zero e então fazer X tender à esse número tanto pela direita quanto pela esquerda e ver o comportamento da função, logo temos que:

x - 2 = 0

x = 2

$\lim_{x \to \ 2 x^{2} } f(x) = 2x+1/x -2 \\ \\ \lim_{x \to \ 2} f(x) = 2.(2) + 1/2-2 \\ \\ \lim_{x \to \ 2} f(x)= 5/0 = + \infty}$

Quando X tende a 2 pela esquerda a função vai para - infinitivo, logo você tem uma assíntota horizontal em Y = 2

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Abraço

Answer 2

A assíntota vertical é x = 2 e a assíntota horizontal é y = 2.

Primeiramente, vamos analisar as assíntotas verticais. Para isso, devemos verificar o domínio da função f(x) = (2x + 1)/(x - 2).

Sabemos que o denominador não pode ser igual a zero. Sendo assim, temos a seguinte condição: x - 2 ≠ 0. Consequentemente, x ≠ 2. Ou seja, o domínio da função f é Dom(f) = IR - {2}.

Assim, podemos afirmar que x = 2 é uma assíntota vertical.

Para analisarmos as assíntotas horizontais, vamos determinar a função inversa de f.

Dito isso, temos que:

y = (2x + 1)/(x - 2)

x = (2y + 1)/(y - 2)

x(y - 2) = 2y + 1

xy - 2x = 2y + 1

xy - 2y = 2x + 1

y(x - 2) = 2x + 1

y = (2x + 1)/(x - 2)

Ou seja, a função inversa f⁻¹(x) = f(x) = (2x + 1)/(x - 2).

O domínio da função f⁻¹(x) é a imagem da função f. Note que Dom(f⁻¹) = IR - {2}.

Ou seja, a imagem da função f é Im(f) = IR - {2}. Assim, podemos afirmar que y = 2 é uma assíntota horizontal.

Abaixo, temos o esboço da função f.

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