Question

Encontre, algebricamente, um par de soluções (x, y), x, y ∈ Z para a equação:

x² - y² = 83

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Sugestão: Note que 83 é primo e que temos um produto notável no primeiro membro.

Answer 1

Bem tranquila Gabriel.

Ve se vc saca a ideia:

x²-y² = 83

(x+y).(x-y) = 83

Ele nos diz q 83 é primo, logo só pode ser divido por 1 e ele mesmo. Por causa disso, podemos dizer isto aq:

83 = 1.83


Vamos aplicar isso na equação:


(x+y).(x-y) = 1.83


Primeira possibilidade:

x+y = 1
x-y = 83

Somando as duas equações:

2x = 84
x = 42

y = -41


Segunda possibilidade:

x+y = 83
x-y = 1

Somando as duas equações:

2x = 84
x = 42

y = 41


Logo:

S = { (x,y) ∈ Z / x = 42 e y = -41 ou x = 42 e y = 41 }

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\sf x^2-y^2=83$

$\sf (x+y)\cdot(x-y)=83\cdot1$

• Primeira possibilidade:

$\sf \begin{cases} \sf x+y=83 \\ \sf x-y=1 \end{cases}$

Somando as equações membro a membro:

$\sf x+x+y-y=83+1$

$\sf 2x=84$

$\sf x=\dfrac{84}{2}$

$\sf x=42$

Substituindo na primeira equação:

$\sf 42+y=83$

$\sf y=83-42$

$\sf y=41$

• Segunda possibilidade:

$\sf \begin{cases} \sf x+y=1 \\ \sf x-y=83 \end{cases}$

Somando as equações membro a membro:

$\sf x+x+y-y=1+83$

$\sf 2x=84$

$\sf x=\dfrac{84}{2}$

$\sf x=42$

Substituindo na primeira equação:

$\sf 42+y=1$

$\sf y=1-42$

$\sf y=-41$

Logo, $\sf S=\{(42,41),(42,-41)\}$