Question

Encontre a solução particular y(p) e solução complementar y(c): dy/dx + 10y = 15; y(0) = 0

Answer 1

$\displaystyle \frac{dy}{dx}+10y=15$
para facilitar a notação, tomaremos
$\boxed{\frac{dy}{dx}=y'}$
a solução complementar é o caso da solução da da EDO homogênea:
$y'+10y=0$
consideraremos o seguinte:
$\bullet~r^1=y'\\\bullet~r^0=y$
encontramos a equação característica da EDO tomando os valores acima:
$r+10=0$
a exponencial da raíz dessa equação característica elevada à variável independente é a solução complementar multiplicada por uma constante arbitrária (A):
$y_c(x)=A\left(\exp(R)\right)^x=A\exp(Rx)=Ae^{Rx}\\\\r=-10\implies R=-10\\\\\boxed{\boxed{y_c(x)=Ae^{-10x}}}$
encontramos a solução complementar, testando:
$y'_c=-10c_1e^{-10x}\implies y'+10y=-10Ae^{-10x}+10Ae^{-10x}=0$
certo!

Agora para encontrar a solução particular tomaremos o seguinte, na solução complementar tínhamos o termo A que era constante, substituindo por uma função de x, fazemos o método de variação de parâmetros (não farei demonstrações formais pois a resposta ficaria extensa e tais demonstrações você encontra em qualquer livro de EDO), essa solução será a solução da EDO (particular + complementar):
$y_p(x)=\mu_1(x)e^{-10x}$
tomamos
$y'_p(x)=\mu_1'(x)e^{-10x}-10\mu_1(x)e^{-10x}$
então:
$\displaystyle i)~~~~\mu_1'(x)e^{-10x}-10\mu_1(x)e^{-10x}+10\mu_1(x)e^{-10x}=15\\\\ii)~~~\mu_1'(x)e^{-10x}=15\\\\iii)~~\mu_1'(x)=\frac{15}{e^{-10x}}\\\\iv)~~\mu_1'(x)=15e^{-10x}$
descobrimos que é a derivada da função arbitrária μ1 integrando dos dois lados obtemos:
$\displaystyle i)~~~~\int\limits\mu'_1(x)dx=\int15e^{-10x}dx\\\\ii)~~~\mu_1(x)+c_1=\int15e^udx\\\\~~~~~~u=~10x\implies\frac{du}{dx}=10\implies \frac{du}{10}=dx\\\\iii)~~\mu_1(x)=\frac{15}{10}\int e^udu-c_1\\\\iv)~~\mu_1(x)=1,5e^{10x}-c_1+c_2\\\\v)~~~\boxed{\mu_1(x)=1,5e^{10x}+A}\\\\\text{note que: }A=c_2-c_1$

logo a solução particular com a complementar é:
$y(x)=\mu_1(x)e^{-10x}\implies y(x)=(1,5e^{10x}+A)e^{-10x}\\\\y(x)=1,5+Ae^{-10x}$
ou seja, 
a solução particular é:
$y(x)=y_c(x)=y_p(x)=1,5$
a solução da EDO é
$y(x)=y_c(x)+y_p(x)$

TESTE:
$\text{seja: }y(x)=1,5+Ae^{-10x}\\\\y'(x)=-10Ae^{-10x}\\\\i)~~~~y'+10y=-10Ae^{-10x}+10(1,5+Ae^{-10x})\\\\ii)~~~-10Ae^{-10x}+10Ae^{-10x}+15=\boxed{\boxed{15}}$

PVI - y(0) = 0

aqui pegamos a solução geral e colocamos em x = 0:
$y(0)=1,5+Ae^{0}=0\implies 1,5+A=0\implies A=-1,5$
logo

$\boxed{\boxed{y(x)=1,5-1,5e^{-10x}}}$


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Bons estudos! :)