Question

Encontre a solução para x abaixo:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Lembre-se:

${(a + b)}^{3} = {a}^{3} + {b}^{3} + 3ab(a + b)$

considere que:

$a = \sqrt[3]{2x + 7} \\ b = \sqrt[3]{x + 3}$

Então:

$a + b = 1$

Eleve ambos os membros da equação ao cubo:

${(a + b)}^{3} = {(1)}^{3} \\ {( \sqrt[3]{2x + 7} + \sqrt[3]{x + 3}) }^{3} = {(1)}^{3} \\ {( \sqrt[3]{2x + 7)} }^{3} + {( \sqrt[3]{x + 3)} }^{3} + 3 \sqrt[3]{(2x + 7)(x + 3)} (1) = 1 \\ 2x + 7 + x + 3 + 3 \sqrt[3]{2 {x}^{2} + 6x + 7x + 21} = 1 \\ 3x + 10 + 3 \sqrt[3]{2 {x}^{2} + 13x + 21} = 1 \\ 3 \sqrt[3]{ 2{x}^{2} + 13x + 21} = - 9 - 3x \\ \sqrt[3]{2 {x}^{2} + 13x + 21 } = - 3 - x \\ {( \sqrt[3]{2 {x}^{2} + 13x + 21 }) }^{3} = {( - 3 - x)}^{3} \\ 2 {x}^{2} + 13x + 21 = {( - 3 - x)}^{3} \\ (2x +7)(x + 3) = - {(3 + x)}^{3} \\ (2x + 7)(x + 3) + {(3 + x)}^{3} = 0 \\ (x +3)(2x + 7 + {(3 + x)}^{2}) = 0$

Entenda que quando o produto de dois fatores é igual a zero, significa que um dos fatores também é 0:

$x + 3 = 0 \\ 2x + 7 + {(3 + x)}^{2} = 0$

Resolva para x na primeira equação:

$x + 3 = 0 \\ x = - 3$

Resolva para x na segunda equação:

$2x + 7 + {(3 + x)}^{2} = 0 \\ 2x + 7 + ( {3}^{2} + 2(3x) + {x}^{2} ) = 0 \\ 2x + 7 + 9 + 6x + {x}^{2} = 0 \\ {x}^{2} + 8x + 16 = 0$

Por Bhaskara:

∆ = 8² - 4 . 1 . 16

∆ = 64 - 64

∆ = 0

$x = \frac{ - 8 + 0}{2} = - 4$

Tire a prova real, para isso basta substituir os valores de x na equação original:

Para x = -3, tem-se:

$\sqrt[3]{2x + 7} + \sqrt[3]{x + 3} = 1 \\ \sqrt[3]{2( - 3) + 7} + \sqrt[3]{ - 3 + 3} = 1 \\ \sqrt[ 3]{ 1} + 0 = 1 \\ 1 = 1$

Então, a solução x = - 3 realmente confere como verdadeira

Para x = - 4, tem-se:

$\sqrt[3]{2x + 7} + \sqrt[3]{x + 3} = 1 \\ \sqrt[3]{2( - 4) + 7} + \sqrt[3]{ - 4 + 3} = 1 \\ \sqrt[3]{ - 1} + \sqrt[3]{ - 1} = 1 \\ - 1 + ( - 1) = - 2$

Então, x = - 4 não serve como solução