Question

Encontre a solução geral para a equação: dy/dx=(x+xy^3)/y^2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{y=\sqrt[3]{Ce^{\frac{3x^2}{2}}-1}},~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a solução geral da seguinte equação diferencial, devemos nos relembrar de alguma propriedades.

Seja a equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+xy^3}{y^2}$

Podemos fatorar o numerador, de forma que

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x\cdot(1+y^3)}{y^2}$

Então, separe a fração como um produto

$\dfrac{dy}{dx}=x\cdot\dfrac{1+y^3}{y^2}$

Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$ e pela fração $\dfrac{y^2}{1+y^3}$

$\dfrac{y^2}{1+y^3}\,dy=x\,dx$

Integre ambos os lados

$\displaystyle{\int\dfrac{y^2}{1+y^3}\,dy=\int x\,dx$

Para calcularmos estas integrais, lembre-se que: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$. Assim, teremos:

$\displaystyle{\int\dfrac{y^2}{1+y^3}\,dy=\dfrac{x^2}{2}+C_1$

Faça uma substituição $u=1+y^3$. Diferenciamos ambos os lados a fim de encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(1+y^3)'\\\\\\ \dfrac{du}{dy}=3y^2$

Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial $dy$ e divida por $3$

$\dfrac{du}{3}=y^2\,dy$

Veja que este elemento já faz parte da integral, assim teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{\left(\dfrac{du}{3}\right)}{u}=\dfrac{x^2}{2}+C_1$

Calcule a fração de fração e aplique a regra da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int \dfrac{du}{u}=\dfrac{x^2}{2}+C_1$

Lembre-se que: $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$, logo

$\dfrac{1}{3}\cdot (\ln|u|+C_2)=\dfrac{x^2}{2}+C_1$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e desfaça a substituição

$\dfrac{1}{3}\ln|1+y^3|+\dfrac{C_2}{3}=\dfrac{x^2}{2}+C_1$

Subtraia $\dfrac{C_2}{3}$ em ambos os lados da equação e considere $C_1-\dfrac{C_2}{3}=C_3$, logo

$\dfrac{1}{3}\ln|1+y^3|=\dfrac{x^2}{2}+C_3$

Multiplique ambos os lados da equação por $3$ e considere $3C_3=C_4$

$\ln|1+y^3|=\dfrac{3x^2}{2}+C_4$

Sabendo que $\ln(a)=b\Leftrightarrow a=e^b$, temos

$1+y^3=e^{\frac{3x^2}{2}+C_4}$

Aplique a propriedade da potência: $a^{m+n}\Leftrightarrow a^m\cdot a^n$ e considere $e^{C_4}=C$

$1+y^3=Ce^{\frac{3x^2}{2}$

Subtraia $1$ em ambos os lados da equação

$y^3=Ce^{\frac{3x^2}{2}}-1$

Retire a raiz cúbica em ambos os lados da equação

$y=\sqrt[3]{Ce^{\frac{3x^2}{2}}-1}$

Esta é a solução geral desta equação diferencial.