Question

Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida:

dy/dx= 5y
Resolução detalhada, por favor!

Answer 1

Resposta:

A solução geral é $y(x)=D.e^{5x}$, onde D é uma constante arbitrária, e está definida em $\mathbb{R}$.

Explicação passo-a-passo:

Reescreva a equação da seguinte forma

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 5$

Note que, do lado esquerdo, temos a derivada da função composta $Ln(y(x))$ em relação à variável x (isto é facilmente verificado aplicando a regra da cadeia à função $Ln(y(x))$). Logo

$\frac{d}{dx}\left( Ln(y(x))\right) = 5$

Agora, integramos ambos os lados em relação à variável x:

$\int \frac{d}{dx}\left( Ln(y(x))\right)\ dx= \int 5\ dx$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo do lado esquerdo:

$Ln(y(x))= 5x + C$, em que C é uma contante arbitrária

Aplicando a exponencial em ambos os lados da equação e, lembrando que a exponencial é a função inversa do Logarítmo natural, temos:

$e^{Ln(y(x))}= e^{5x + C} \implies y(x) = e^C.e^{5x} = D.e^{5x}$, onde $D=e^C$ (simplesmente renomeamos a contante $e^C$).

Como a solução geral é uma função exponencial, está definida em toda a reta real $\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$.