Matemática, perguntado por wedersonjr8966, 6 meses atrás

Encontre a solução geral da equação diferencial y′′−5y′+6y=2e^8t


Vicktoras: Ao invés de usar t, usei x, mas não altera nada, apenas a variável

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras
1

Temos a seguinte equação diferencial:

 \sf  \:  \:  \:  \:  \: \:  \:  \:  \bullet  \:  \: y''-5y'+6y=2e {}^{8x}  \:  \bullet

Para resolver esta equação vamos usar o método da variação de parâmetros, onde supõe-se uma solução particular baseada na solução da equação homogênea associada. Dado que esta equação é não homogênea, uma vez que o segundo membro da equação não é 0, a solução geral da mesma, é dada pela seguinte expressão:

  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \boxed{ \sf y_g = y_p + y_h}

  • Onde yp é a solução particular e yh a solução da homogênea associada.

Por motivos de menos complexidade, vamos iniciar pela solução da equação homogênea associada, que é basicamente:

 \sf  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  y''-5y'+6y=0

Vamos utilizar o método dos coeficientes constantes, onde utiliza-se um equação do segundo grau:

 \sf m {}^{2}  - 5m + 6 = 0 \:  \to \:   m_1 = 3 \:  \:  e \:  \: m_2 = 2

Dado que a equação possuiu duas raízes reais e diferentes, então se encaixa no caso da solução 1, que é dada por:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \sf y = c_1.e^{m_1.x}  + c_2.e {}^{m_2.x}

Substituindo as soluções e encontrando a solução da homogênea associada:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \boxed{ \boxed{  \sf y = c_1.e^{3x}  + c_2.e {}^{2x} }}

________________________________

Agora vamos calcular a solução particular. Como foi dito anteriormente esta solução se baseia na homogênea associada, então:

  \:  \:  \:  \:   \: \sf  \bullet \:  \: y = u_1(x) . y_1 + u_2(x).y_2 \:  \:  \bullet

Para calcular estes termos u1 e u2, existem relações estabelecidas, que são:

 \sf u_1(x) =   -  \int  \frac{ y_2 \: . \: f(x) }{ W }   \:  \: e \:  \: u_2(x) =     \int  \frac{ y_1 \: . \: f(x) }{ W }   \\

  • y1 e y2 são as soluções encontradas anteriormente, W o Wronskiano das soluções e f(x) a expressão que se encontra logo após a igualdade da equação.

Primeiro vamos calcular o Wronskiano:

 \sf W =  \begin{pmatrix} \sf y_1&  \sf y_2 \\ \sf y'_1& \sf y'_2 \end{pmatrix} \:  \to \: W =  \begin{pmatrix} \sf e {}^{3x} &  \sf e {}^{2x}  \\ \sf 3e {}^{3x} & \sf 2e {}^{2x}  \end{pmatrix} \\  \\  \sf det(W) = e {}^{3x} .2.e {}^{2x}  - 3.e {}^{3x} .e {}^{2x}  \\  \\  \sf det( W) = 2e {}^{5x}  - 3e {}^{5x}  \\  \\  \sf det(W) =  - e {}^{5x}

A função f(x) é dada por:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:   \:  \sf y''-5y'+6y= \underbrace{2e {}^{8x} }_{f(x)}

Substituindo os dados na primeira relação de u:

 \sf u_1(x) =  -  \int  \frac{e {}^{2x} \: . \: 2e {}^{8x}  }{ - e {}^{5x} } \: dx  \\  \\  \sf u_1(x) =  2\int  \frac{e {}^{10x} }{e {}^{5x} }  \: dx \\  \\  \sf u_1(x) = 2 \int e {}^{5x}  \: dx \\  \\   \boxed{\sf u_1(x) =  \frac{2e {}^{5x} }{5}}

Calculando agora u2:

\sf u_2(x) =  \int  \frac{y_1 \: . \: f(x)}{W}   \: dx\\  \\  \sf u_2(x) =  \int  \frac{e {}^{3x} \: . \: 2e {}^{8x}  }{ - e {}^{5x} }   \: dx\\  \\  \sf u_2(x) =   -  2\int  \frac{e {}^{11x} }{e {}^{5x} }  \: dx \\  \\  \sf u_2(x) =  -2  \int e {}^{6x}   \: dx \\  \\ \boxed{  \sf u_2(x) =  -  \frac{e {}^{6x} }{ 3} }

Tendo feito estes cálculo, vamos substituir na expressão da solução particular:

 \sf y_p =  \frac{2e {}^{5x} }{5} .e {}^{3x}   -  \frac{e {}^{6x} }{3} .e {}^{2x}  \\  \\  \sf y_p =  \frac{2e {}^{8x} }{5}  -  \frac{e {}^{8x} }{3}  \\  \\  \boxed{ \sf y_p =  \frac{e {}^{8x} }{15} }

Para finalizar, basta substituir todas as soluções dentro na expressão da solução geral:

 \sf   y_g = y_p + y_h \\  \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf y_g =  \frac{e {}^{8x} }{15}  + c_1.e {}^{3x}  + c_2.e {}^{2x} }}}}

Espero ter ajudado

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