Encontre a solução geral da equação diferencial y′′−5y′+6y=2e^8t
Soluções para a tarefa
Temos a seguinte equação diferencial:
Para resolver esta equação vamos usar o método da variação de parâmetros, onde supõe-se uma solução particular baseada na solução da equação homogênea associada. Dado que esta equação é não homogênea, uma vez que o segundo membro da equação não é 0, a solução geral da mesma, é dada pela seguinte expressão:
- Onde yp é a solução particular e yh a solução da homogênea associada.
Por motivos de menos complexidade, vamos iniciar pela solução da equação homogênea associada, que é basicamente:
Vamos utilizar o método dos coeficientes constantes, onde utiliza-se um equação do segundo grau:
Dado que a equação possuiu duas raízes reais e diferentes, então se encaixa no caso da solução 1, que é dada por:
Substituindo as soluções e encontrando a solução da homogênea associada:
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Agora vamos calcular a solução particular. Como foi dito anteriormente esta solução se baseia na homogênea associada, então:
Para calcular estes termos u1 e u2, existem relações estabelecidas, que são:
- y1 e y2 são as soluções encontradas anteriormente, W o Wronskiano das soluções e f(x) a expressão que se encontra logo após a igualdade da equação.
Primeiro vamos calcular o Wronskiano:
A função f(x) é dada por:
Substituindo os dados na primeira relação de u:
Calculando agora u2:
Tendo feito estes cálculo, vamos substituir na expressão da solução particular:
Para finalizar, basta substituir todas as soluções dentro na expressão da solução geral:
Espero ter ajudado