Question

Encontre a solução geral da equação diferencial y'' + 4y' + 16y = 0.

Answer 1

Explicação passo a passo:

É uma equação diferencial homogênea linear de segunda ordem, com coeficientes constantes. Sua solução Geral é de raízes complexas:

$y=e^{ax}[C_1.cos(bx)+C_2.sen(bx)]$

$y''+4y'+16y=0 \implies r^2+4r+16=0 \implies \Delta=16-64=-48 < 0$

$r=\frac{-4 \pm \sqrt{-48} }{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{3}i }{2} \implies \left \{ {{r_1=-2-2 \sqrt{3}i} \atop {r_2=-2+2 \sqrt{3}i}} \right.$

$y=e^{(-2)x}[C_1.cos[(2\sqrt{3} )x]+C_2.sen[(2\sqrt{3} )x]]$

$\therefore \boxed{y=e^{-2x}[C_1.cos \, (2x\sqrt{3})+C_2.sen \, (2x\sqrt{3})]}$