Question

Encontre a solução geral da equação diferencial: (2x-y)dx+(2y-x)dy=0

Answer 1

Resposta:

y(x) = 1/2 . [x + √(- 3x² - 4c₁)] ou y(x) = 1/2 . [x - √(- 3x² - 4c₁)]

-----------------------------------------------------------------------------------------

Vejamos, a equação diferencial dada é:

 

$\sf (2x-y)dx+(2y-x)dy=0$

 

Note que ela é uma equação diferencial exata, pois seus termos se relacionam da seguinte forma:

 

$\sf P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\implies P_y(x,y)=Q_x(x,y)$

 

Para qualquer dúvida, vamos verificar. Supondo P(x, y) = 2x - y e Q(x, y) = 2y - x, temos:

 

$\begin{array}{l}\sf\dfrac{\partial}{\partial y}(2x-y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(2y-x)\\\\\sf\dfrac{\partial}{\partial y}2x-\dfrac{\partial}{\partial y}y=\dfrac{\partial}{\partial x}2y-\dfrac{\partial}{\partial x}x\\\\\sf0-1=0-1=-\,1\end{array}$

 

Então sim, é uma EDO exata. Vamos então definir uma função F(x, y) tal que

• $\sf F_x(x,y)=P(x,y)~(i)~~e~~ F_y(x,y)=Q(x,y)~(ii)$

e, depois, atribuir F(x, y) = c₁ como uma solução geral.

 

$\begin{array}{l}\sf F_x(x,y)=2x-y\\\\\sf F(x,y)=\int\sf(2x-y)\,dx\\\\\sf F(x,y)=\int\sf2x\,dx-\int\sf y\,dx\\\\\sf F(x,y)=\dfrac{2x^2}{2}-xy+c\\\\\sf F(x,y)=x^2-xy+c\end{array}$

 

Façamos c = G(y) (uma função arbitrária de y):

 

$\sf F(x,y)=x^2-xy+G(y)$

 

Diferenciando F(x, y) em relação a y, obtemos:

 

$\begin{array}{l}\sf F_y(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}[x^2-xy+G(y)]\\\\\sf F_y(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}x^2-\dfrac{\partial}{\partial y}xy+\dfrac{\partial}{\partial y}G(y)\\\\\sf F_y(x,y)=0-x\cdot1+\dfrac{\partial}{\partial y}G(y)\\\\\sf F_y(x,y)=G_y(y)-x~(iii)\end{array}$

 

Substituindo (iii) em (ii):

 

$\begin{array}{l}\sf F_y(x,y)=2y-x\\\\\sf G_y(y)-x=2y-x\\\\\sf G_y(y)=2y-x+x\\\\\sf G_y(y)=2y\\\\\sf G(y)=\int\sf 2y\,dy\\\\\sf G(y)=\dfrac{2y^2}{2}+c\\\\\sf G(y)=y^2+c\end{array}$

 

Desse modo, substituindo G:

 

$\sf F(x,y)=x^2-xy+y^2+c$

 

Dado que a solução geral de F é F(x, y) = c₁, temos que

 

$\begin{array}{l}\sf x^2-xy+y^2+c=c_1\\\\\sf x^2-xy+y^2=c_1-c=c_1\end{array}$

 

Consideraremos c₁ ∈ ℝ pois a diferença entre duas constantes reais resulta em outra constante real. Agora resolveremos para y pra achar a sol. geral. Podemos utilizar a fórmula quadrática, visto que:

$\begin{array}{l}\sf x^2-xy+y^2=c_1\implies y^2-xy+x^2-c_1=0\implies a=1,b=-x,c=x^2-c_1\end{array}$

 

$\begin{array}{l}\sf y(x)=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\\sf y(x)=\dfrac{-(-x)\pm\sqrt{(-x)^2-4(1)(x^2-c_1)}}{2(1)}\Rightarrow y(x)=\dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4x^2-4c_1}}{2}\\\\\sf y(x)=\dfrac{x\pm\sqrt{-\,3x^2-4c_1}}{2}\Rightarrow y(x)=\dfrac{1}{2}\big(x\pm\sqrt{-\,3x^2-4c_1}\big)\end{array}$

 

Portanto,

$\red{\boldsymbol{\underline{\boxed{\sf y(x)=\dfrac{1}{2}\big(x+\sqrt{-\,3x^2-4c_1}\big)~ou~y(x)=\dfrac{1}{2}\big(x-\sqrt{-\,3x^2-4c_1}\big)}}}}$