Question

Encontre a solução do seguinte Problema de Valor Inicial
$t^{3} y' + 4t^{2}y = e^{-t}, \ y(-1) = 0,t \ \ \textless \ 0$

Answer 1

A solução do problema de valor inicial é

                                   $\Large\begin{gathered}\boxed{y(t) =-\dfrac{e^{-t}}{t^3} - \dfrac{e^{-t}}{t^4} }\end{gathered}$    

                                         

Com uma simples manipulação algébrica conseguimos transformar ela num EDO linear de primeira ordem, dividindo todos os termos por t³

                                             $\Large\begin{gathered}y' + \frac{4}{t}y = \frac{e^{-t}}{t^3}\end{gathered}$

Podemos só aplicar a fórmula para resolução de EDO linear de primeira ordem, que diz que dada uma EDO na forma

                                          $\Large\begin{gathered}y' + p(x) y = q(x)\end{gathered}$

A solução da EDO é

                 $\Large\begin{gathered}\boxed{y(x) = e^{-\int p(x)dx}\left[\int e^{\int p(x)dx}q(x) dx + C\right]}\end{gathered}$

Antes de só aplicar a fórmula vamos irei mostrar como chegar nela, com dito antes, suponha uma função

                                          $\Large\begin{gathered}y' + p(x) y = q(x)\end{gathered}$

Escrevendo y' como dy/dx e fazendo as devidas manipulações algébricas podemos escrever a equação como

                                  $\Large\begin{gathered}1dy + \left[p(x) y - q(x)\right]dx = 0\end{gathered}$

Com isso temos uma EDO no formato

                                            $\Large\begin{gathered}Q\,dy + P\,dx = 0\end{gathered}$

Onde Q = 1 e P = p(x)y - q(x), para uma equação diferencial ser exata temos que o rot F deve ser nulo, isso implica que

                                                  $\Large\begin{gathered}\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \end{gathered}$

Aplicando isso na equação acima temos

                                       $\Large\begin{gathered}\frac{\partial P}{\partial y} = p(x)\ne\frac{\partial Q}{\partial x} = 0 \end{gathered}$

Logo a equação não é exata. Então teremos que usar fator integrante.

É muito fácil ver que o fator integrante irá depender só de x, pois

                                              $\Large\begin{gathered}\frac{\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}}{Q} = p(x) \end{gathered}$

Logo o fator integrante é

                                             $\Large\begin{gathered}\mu (x) = e^{\int p(x)dx} \end{gathered}$

Voltando na nossa equação e multiplicando ela pelo nosso fator integrante

                  $\Large\begin{gathered}e^{\int p(x)dx}dy +e^{\int p(x)dx} \left[p(x) y - q(x)\right]dx = 0\end{gathered}$

Então vamos achar a função potencial F, segue que

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\frac{\partial F}{\partial x} = P = e^{\int p(x)dx}\left[p(x)y-q(x)\right]\\ \\\frac{\partial F}{\partial y} = Q = e^{\int p(x)dx}\end{cases}\end{gathered}$

Integrando a equação em Q temos

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}F(x,y) = \int e^{\int p(x)dx}dy = ye^{\int p(x)dx} + g(x) \\ \\\end{gathered}$

Para encontrar os termos que desaparecem na derivação por x temos que derivar essa F que encontramos em relação a x e comparar com a equação de P

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{\partial F}{\partial x}= ye^{\int p(x)dx}p(x) + g'(x) \\ \\\end{gathered}$

Comparando com P vem que

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}g'(x) = -e^{\int p(x)dx}q(x)\end{gathered}$

Portanto g(x) tem que ser a integral disso, logo

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}g(x) =- \int e^{\int p(x)dx}q(x)\,dx\end{gathered}$

Portanto nosso campo F é

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}F(x,y) = ye^{\int p(x)dx} - \int e^{\int p(x)dx} q(x) dx \\ \\\end{gathered}$

Como a solução geral é uma curva de nível de F, podemos escrever isso como

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}C = ye^{\int p(x)dx} - \int e^{\int p(x)dx} q(x) dx \end{gathered}$

Isolando y

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{y(x) = e^{-\int p(x)dx}\left[\int e^{\int p(x)dx}q(x) dx + C\right]}\end{gathered} }$

Portanto, olhando nossa equação sabemos que  a nossa solução é                                      

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{y(t) = e^{-\int \frac{4}{t}dt}\left[\int \left(e^{\int \frac{4}{t}dt}\cdot\frac{e^{-t}}{t^3} dt\right) + C\right]}\end{gathered} }$

Resolvendo a integral de p(t), temos

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{4}{t}dt = 4\ln |t| = \ln |t^4| \end{gathered}$

Porém

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}e^{n\ln |x|} = x^{n}\end{gathered}$

Dai segue

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}y(t) = \frac{1}{t^4}\left[\int t^4\cdot \frac{e^{-t}}{t^3}\,dt + C\right] =\frac{1}{t^4}\left[\int te^{-t}\,dt + C\right] \end{gathered} }$    

Essa ultima integral pode ser resolvida por partes resultando em              

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}y(t) =\frac{1}{t^4}\left[-te^{-t}-e^{-t} + C\right] \end{gathered}$      

Logo nossa função y(t) é

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}y(t) =\frac{C}{t^4}-\frac{e^{-t}}{t^3} - \frac{e^{-t}}{t^4} \end{gathered} }$      

Agora vamos determinar a constante C, fazendo y(-1) = 0,

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}0 =C+e - e\Rightarrow C = 0 \end{gathered}$      

Por fim, nossa função é

                                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{y(t) =-\frac{e^{-t}}{t^3} - \frac{e^{-t}}{t^4} }\end{gathered} }$      

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Answer 2

A solução do PVI é

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y=-\frac{e^{-t}}{t^3}-\frac{e^{-t}}{t^4} \end{gathered} }$

Desejamos calcular o seguinte problema de valor inicial

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \begin{cases} t^3y'+4t^2y=e^{-t}\\ y(-1)=0\ ;\ t<0\end{cases}\end{gathered}$

Vamos primeiramente calcular a solução daquela E.D.O, lembrando que essa E.D.O é muito díficil / impossível de se fazer por separação de variáveis.

Para resolver a mesma, temos o método do fator integrante, onde encontramos a solução da E.D.O com as seguintes fórmulas

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{dy}{dt}+ p(t)\cdot y=q(t)\ \ \sf \ \ (I)\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \mu =e^{\int p(t) dt}\ \ \sf \ \ (II)\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \mu \cdot y=\int \mu\cdot q(t) dt \ \sf \ \ (III)\end{gathered}$

Vamos então deixar nossa E.D.O na forma da equação I

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}t^3y'+4t^2y=e^{-t} \Rightarrow t^3\frac{dy}{dt} +4t^2y=e^{-t}\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}t^3y'+4t^2y=e^{-t} \Rightarrow \frac{\!\diagup\!\!\!\!t^3}{\!\diagup\!\!\!\!t^3}\cdot \frac{dy}{dt} +\frac{4t^2}{t^3}\cdot y=\frac{e^{-t}}{t^3}\end{gathered} }$

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}t^3y'+4t^2y=e^{-t} \Rightarrow \frac{dy}{dt} +\frac{4}{t}\cdot y=\frac{e^{-t}}{t^3}\end{gathered} }$

Pronto, feito isso iremos agora calcular nosso $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mu\end{gathered}$

    $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mu =e^{\int p(t) dt} \Rightarrow \mu=e^{\int \frac{4}{t} dt}\end{gathered} }$

    $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \mu =e^{\int p(t) dt} \Rightarrow \mu=e^{ \ln |t|^4}\end{gathered}$

    $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \mu =e^{\int p(t) dt} \Rightarrow \mu=t^4\end{gathered}$

Beleza, agora é só encontrar a solução final da E.D.O, aplicando a equação III.

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mu \cdot y=\int \mu\cdot q(t) dt \Rightarrow t^4\cdot y=\int \!\diagup\!\!\!\!t^4\cdot \frac{e^{-t}}{\!\diagup\!\!\!\!t^3}dt \end{gathered} }$

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mu \cdot y=\int \mu\cdot q(t) dt \Rightarrow t^4\cdot y=\underbrace{\int t\cdot e^{-t}dt}_{\Large\displaystyle\begin{gathered} ( ...) \end{gathered}} \end{gathered} }$

Marquei aquela integral com (...) pois irei fazê-la com calma a seguir, primeiramente aplicando a integração p/partes, logo

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}(...)\begin{cases} u\rightarrow t\ \ \ \ \ \ \ \ \ || \ du\rightarrow dt\\ dv\rightarrow e^{-t}dt\ \ ||\ \ v\rightarrow -e^{-t}\end{cases}\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} ( ...) =t(-e^{-t})+\int e^{-t} dt \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} ( ...) =t(-e^{-t})-e^{-t}\end{gathered}$

Temos então que

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \mu \cdot y=\int \mu\cdot q(t) dt \Rightarrow t^4\cdot y=t(-e^{-t})-e^{-t}+k\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mu \cdot y=\int \mu\cdot q(t) dt \Rightarrow y=\frac{t(-e^{-t})}{t^4}-\frac{e^{-t}}{t^4}+\frac{k}{t^4}\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mu \cdot y=\int \mu\cdot q(t) dt \Rightarrow y=-\frac{e^{-t}}{t^3}-\frac{e^{-t}}{t^4}+\frac{k}{t^4}\end{gathered} }$

Encontramos a solução da E.D.O. Agora basta substituirmos t por -1 e y por 0 ( como a questão pediu ).

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}y=-\frac{e^{-t}}{t^3}-\frac{e^{-t}}{t^4}+\frac{k}{t^4}\Rightarrow 0=-\frac{e^{-(-1)}}{(-1)^3}-\frac{e^{-(-1)}}{(-1)^4}+\frac{k}{(-1)^4} \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}y=-\frac{e^{-t}}{t^3}-\frac{e^{-t}}{t^4}+\frac{k}{t^4}\Rightarrow 0=e-e+k \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}y=-\frac{e^{-t}}{t^3}-\frac{e^{-t}}{t^4}+\frac{k}{t^4}\Rightarrow\therefore \boxed{ k=0} \end{gathered} }$

Sendo a constante 0, logo a solução do PVI é

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y=-\frac{e^{-t}}{t^3}-\frac{e^{-t}}{t^4}+\frac{k}{t^4}\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}y=-\frac{e^{-t}}{t^3}-\frac{e^{-t}}{t^4}+\frac{0}{t^4}\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \boxed{y=-\frac{e^{-t}}{t^3}-\frac{e^{-t}}{t^4}}\end{gathered} }$

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/46375580
• brainly.com.br/tarefa/49415486