Matemática, perguntado por Rafael20albuquerque, 11 meses atrás

Encontre a solução do PVI (Problema de valor inicial). y'(x).y(x) = -x y(0) = 1 x2 + y2 = 4 9x2 + 4y2 = 1 2x2 + y2 = 1 x2 + 4y2 = 9 x2 + y2 = 1

Soluções para a tarefa

Respondido por ArthurPDC
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É dada a seguinte EDO:

y'(x)\cdot y(x) = -x

Podemos reescrevê-la de outro modo:

\dfrac{dy}{dx}\cdot y = -x

Note que a equação é separável. Desse modo, basta colocarmos cada lado em função de apenas uma variável e integrar nessa respectiva variável. Veja:

\dfrac{dy}{dx}\cdot y = -x\\\\
\displaystyle \int y\,dy=-\int x\,dx\\\\
\dfrac{y^2}{2}=-\dfrac{x^2}{2}+C_0\\\\
y^2+x^2 = \underbrace{2C_0}_{=C_1}\\\\
x^2+y^2 = C_1

Agora, para descobrirmos o valor da constante C₁, devemos substituir o ponto conhecido da função, isto é, y(0) = 1:

x^2+y^2 = C_1\\\\
0^2 + 1^2 = C_1\\\\
C_1 = 1

Portanto:

\boxed{x^2+y^2 = 1}

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