Question

Encontre a solução do PVI (Problema de valor inicial) considerando a condição y(0) = 1.

\({dy\over dx} + {e^x}y^2 = 0 \)


y(x) = 1/e2x


y(x) = e2x




y(x) = ex




y(x) = 1/ex




y(x) = ex/2

Answer 1

A equação diferencial $\frac{dy}{dx}+e^xy^2=0$ é separável.

Perceba que podemos separar o x do y da seguinte maneira:

$\frac{dy}{dx}=-e^xy^2$

$\frac{dy}{y^2}=-e^xdx$

Para resolver a equação acima, precisamos integrar ambos os lados.

Assim,

$\int\frac{dy}{y^2}=-\int e^xdx$

$-\frac{1}{y}=-e^x+c$

$\frac{1}{y}=e^x + c_1$

ou seja,

$y = \frac{1}{e^x+c_1}$

Agora precisamos encontrar solução do Problema de Valor Inicial. Sendo y(0) = 1, então:

$1 = \frac{1}{e^0 + c_1}$

c₁ = 0

Portanto, a solução do PVI é: $y=\frac{1}{e^x}$