Question

Encontre a solução do PVI (Problema de valor inicial) considerando a condição y(0) = 1. \({dy\over dx} + {e^x}y^2 = 0 \)

Answer 1

Temos que a equação diferenciável $\({dy\over dx} + {e^x}y^2 = 0 \)$ é separável.

Sendo assim, separando o x do y, temos que:

$\frac{dy}{dx}=-e^x.y^2$

$\frac{dy}{y^2}=-e^xdx$

Para resolver a equação acima, precisamos integrar ambos os lados.

Sendo assim,

$\int\frac{dy}{y^2}=-\int e^xdx$

Integrando:

$-\frac{1}{y}=-e^x+c$

$\frac{1}{y}=e^x + c_1$

Assim,

$y = \frac{1}{e^x+c_1}$

Fazendo y(0) = 1, encontramos o valor da constante, que é c₁ = 0.

Portanto, a solução do Problema de Valor Inicial é:

$y=\frac{1}{e^x}$