Question

Encontre a solução da seguinte equação modular:

|x²-1| + x = 0

Answer 1

Olá Krikor.


Encontre a solução da seguinte equação modular:

|x² - 1| + x = 0

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Relação modular.

|x| = x  se, x ≥ 0
|x| = -x  se, x < 0

Condição de existência de módulo.

|x| = a  se, a ≥ 0

Organizando a equação. temos.

|x² - 1| + x = 0
|x² - 1| = -x

Precisamos checar então a condição de existência de (-x).

-x ≥ 0 * (-1)
x ≤ 0

C.E = {x ∈ |R : x ≤ 0}

Considerando o primeiro caso, onde |x² - 1| ≥ 0, temos.

x² - 1 + x = 0
x² + x - 1 = 0 + (1/2)²
x² + x + (1/2)² = 1 + (1/2)²
(x + 1/2)² = 1 + 1/4
(x + 1/2)² = 5/4
√(x + 1/2)² = √5/4
x + 1/2 = (+/-) √5 * 1/2

x' + 1/2 = √5 * 1/2
x' = √5 * 1/2 - 1/2
x' = 1/2*(√5 - 1)

x'' + 1/2 = - √5 * 1/2
x'' = - √5 * 1/2 - 1/2
x'' = -1/2*(√5 + 1)

Pela C.E x deve ser menor ou igual a 0, portanto x' não serve.

Verificando agora para |x² - 1| < 0, temos.

- (x² - 1) + x = 0
-x² + 1 + x = 0
-x² + x + 1 = 0 * (-1)
x² - x - 1 = 0 + (1/2)²
x² - x + (1/2)² = 1 + (1/2)²
(x - 1/2)² = 1 + 1/4
(x - 1/2)² = 5/4
√(x - 1/2)² = √5/4
x - 1/2 = (+/-) √5 * 1/2

x'" - 1/2 = √5 * 1/2
x'" = √5 * 1/2 + 1/2
x'" = 1/2 * (√5 + 1)

x''" - 1/2 = - √5 * 1/2
x"" = - √5 * 1/2 + 1/2
x"" = 1/2 * (-√5 + 1)

Pela C.E, x"' não serve.

Portanto as soluções são.

S = {-1/2 * (√5 + 1), 1/2 * (-√5 + 1)}


Dúvidas? comente.