Question

Encontre a solução da equação diferencial de variáveis separadas.

\({dy\over dx} = {y^3\over x^2}\)

A)y = 2x + C
B)y-2 = 3x + C
C)y-2 = 2x-1 + C
D)y-3 = 2x-2 + C
E)y-2 = 3x-1 + C

Answer 1

Olá,

Primeiramente vamos passar o y^3 para o lado esquerdo da equação e posteriormente o dx para o lado direito, vejamos:

$\frac{dy}{dx} =\frac{y^{3}}{x^{2}} \\ \\ y^{-3}\frac{dy}{dx} =x^{-2}\\ \\  y^{-3}dy=x^{-2}dx$

Agora basta integrar dos dois lados, vejamos:

$\int{ y^{-3}dy} =\int{x^{-2}dx}\\ \\ \frac{-y^{-2}}{2}+C1=-x^{-1}+C2$

Note que passando o C1 para o outro lado teremos, C2-C1  que não deixa de ser uma constante C.

Note também que podemos passar o denominador de -y^-2 para o outro lado, e assim chegaremos ao resultado esperado, vejamos:

$\frac{-y^{-2}}{2}=-x^{-1}+C\\ \\ (-1)*-y^{-2}=-2x^{-1}+C *(-1)\\ \\ y^{-2}=2x^{-1}+C$

Resposta correta: Letra C)