Question

encontre a série deTaylor para f(x) =3/x em q a=4

Answer 1

Para calcular a série de Taylor de qualquer função centrada em um ponto a devemos usar a relação de Taylor, dada por:

$\boxed{\displaystyle \bf f(x)\sim \sum^\infty _{n=0}\dfrac{f^{(n)} (a)}{n!}(x-a)^n=f(a)+f'(a) (x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\dots}$

• A série de Taylor é um método de aproximação polinomial, usando as derivadas da função f(x). Quanto maior o grau do polinômio de Taylor, o erro diminui e se aproxima de um valor menos aproximado a cada vez. Deve-se notar que tanto matemáticos quanto físicos usam a série de Taylor para estimar o valor de funções muito complexas de uma maneira mais fácil de fazer.

Como eu disse antes, para encontrar a série de Taylor de uma função devemos saber derivar essa função infinitas vezes, mas como somos humanos e não uma máquina, basta derivar a função no máximo 4 ou 5 vezes e assim verificar que existe uma relação de recorrência que nos ajuda a encontrar a derivada de uma função de maneira mais simples.

Deve-se dizer que existe outro tipo de série também de aproximação polinomial conhecida como série de Maclaurin que é uma série de Taylor mas centrada no ponto a = 0 (zero).

Nosso problema nos pede para encontrar a série de Taylor da função $\bf f(x)=\dfrac{3}{x}$ centrada no ponto a = 4, para isso vamos primeiro derivar nossa função quantas vezes quisermos, vou indicar um total de 4 vezes. Primeiro calculamos a primeira derivada da nossa função que será:

$f'(x)=\dfrac{d}{dx} \dfrac{3}{x}\qquad \to \qquad f'(x)=3\dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{x}\\\\\\ f'(x)=3\dfrac{d}{dx}x^{-1}\qquad \to\qquad f'(x)=-3x^{-1-1}\\\\\\ f'(x)=-3x^{-2}\qquad \to\qquad f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$

Calculando a segunda derivada da mesma função, para calcular a segunda derivada da função vamos derivar o resultado da primeira derivada fazendo isso vamos obter:

$f''(x)=\dfrac{d}{dx}-\dfrac{3}{x^2}\qquad \to\qquad f''(x)=-3\dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{x^2}\\\\\\ f''(x)=-3\dfrac{d}{dx}x^{-2}\qquad\to\qquad f''(x)=6x^{-2-1} \\\\\\ f''(x)=6x^{-3}\qquad \to\qquad f''(x)=\dfrac{6}{x^3}$

Derivamos nossa função pela terceira vez, para isso calculamos a derivada do resultado da segunda derivada, fazendo isso temos que:

$f'''(x)=\dfrac{d}{dx}\dfrac{6}{x^3}\qquad \to\qquad f'''(x)=6\dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{x^3}\\\\\\ f'''(x)=6\dfrac{d}{dx}x^{-3}\qquad\to\qquad f'''(x)=-18x^{-3-1} \\\\\\ f'''(x)=-18x^{-4}\qquad \to\qquad f'''(x)=-\dfrac{18}{x^4}$

Vamos calcular a quarta derivada e a última, bem, não é a última, pois são derivadas infinitas, mas é a última que vou fazer. Realizando a quarta derivada da mesma forma que fizemos para encontrar as 3 primeiras derivadas temos que:

$f''''(x)=\dfrac{d}{dx}-\dfrac{18}{x^4}\qquad \to\qquad f''''(x)=-18\dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{x^4}\\\\\\ f''''(x)=-18\dfrac{d}{dx}x^{-4}\qquad\to\qquad f''''(x)=72x^{-4-1} \\\\\\ f''''(x)=72x^{-5}\qquad \to\qquad f''''(x)=-\dfrac{72}{x^5}$

Avaliando tanto a função quanto suas derivadas para x=4 temos os seguintes resultados:

$\begin{cases}f(4)=\dfrac{3}{4}\\\\f'(4)=-\dfrac{3}{16}\\\\ f''(4)=\dfrac{6}{64}=\dfrac{3}{32}\\\\ f'''(4)=-\dfrac{18}{256}=-\dfrac{9}{128}\\\\ f''''(4)=\dfrac{72}{1,024}=\dfrac{9}{128}\end{cases}$

Como as derivadas desta função não possuem lei de formação, vamos usar a série de Taylor sem expressão sigma, então substituindo nossos dados temos:

$\dfrac{3}{x}\sim \dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{16}(x-4)+\dfrac{3}{32}\cdot\dfrac{1}{2!}(x-4)^2-\dfrac{9}{128}\cdot\dfrac{1}{3!}+\dfrac{3}{128}\cdot\dfrac{1}{4!} -\dots\\\\\\ \dfrac{3}{x}\sim\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{16}(x-4)+\dfrac{3}{64}(x-4)^2-\dfrac{3}{256}(x-4)^3+\dfrac{3}{1,204}(x-4)^4-\dots$

Podemos perceber várias coisas e estas são:

• Quando o número do termo for par será positivo e quando for ímpar será negativo.

• O numerador é sempre mantido constante, ou seja, sempre será igual a 3.

• O denominador de cada fração são potências de 4.

Portanto, esta soma infinita no formato sigma pode ser escrita como:

$\begin{array}{c|c|c}\qquad&\boxed{\displaystyle\bf \dfrac{3}{x}\sim \sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n\dfrac{3}{4^n}(x-4)^n}&\qquad\end{array}$

A imagem em anexo mostra um gráfico feito em geogebra para mostrar que quanto maior o grau do polinômio, maior a aproximação do polinômio na função original.

Veja mais sobre o assunto das séries de Taylor e Maclaurin nos links a seguir:

https://brainly.com.br/tarefa/42734949

https://brainly.com.br/tarefa/30334405

https://brainly.com.br/tarefa/2692105

Bons estudos e espero que te ajude :-)

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