Question

Encontre a segunda derivada da função y=in√x^2+1

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = \ln \sqrt{x {}^{2} + 1}$

Primeiramente vamos transformar essa raiz em uma potência:

$\sf y = \ln( (x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{1}{2} } )$

Agora vamos começar a derivar essa função. Inicialmente vamos relembrar que a derivada logarítmica natural é dada por:

$\sf \frac{d}{dx} \ln (x ) = \frac{1}{x}\Longrightarrow \frac{d}{dx} \ln(x {}^{2} ) = \frac{1}{x {}^{2} } . \frac{d}{dx} x {}^{2}$

• Na esquerda tem-se a expressão resultado da derivação e à direita tem-se um exemplo de uma função logarítmica composta.

Aplicando tudo isso que foi dito, teremos que:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \sqrt{x {}^{2} + 1 } } . \frac{d}{dx} \sqrt{x {}^{2} + 1 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \sqrt{x {}^{2} + 1 } } . \frac{d}{dx} (x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{1}{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \sqrt{x {}^{2} + 1 } } . \frac{1}{2(x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{1}{2} } } . \frac{d}{dx}(x {}^{2} + 1) \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{1}{2} } .(x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{1}{2} } } .(2x)\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2(x {}^{2} + 1)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{x}{x {}^{2} + 1} }}}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado