Question

encontre a reta tangente 3x² + 7x no ponto x1 ,yi

Answer 1

F(x) = 3x² + 7x

A inclinação da reta tangente para um ponto genérico (x,y) é simplesmente a derivada da função aplicada nesse ponto. Podemos derivá-la mais facilmente ou fazer a derivada pela definição. Vou optar pela primeira opção.

Representando a derivada como f'(x), teremos:

f"(x) = 6x + 7

Aplicando em (x1,y1), teremos:

y1 = 6x1 + 7

Answer 2

Equação: 3x²+7x

Para achar a reta tangente, devemos achar seu "m", para isso utilizaremos o conceito de derivadas.

$\boxed{m =\lim_{Ax \to 0} \frac{f(x+Ax)-f(x)}{Ax}}$

Ponto:

$(x_1,y_i)$

Assim:

$f(x_1) = 3.(x_1)^2+7.(x_1)\\\\e\\\\f(x_1+Ax) = 3.(x_1+Ax)^2+7(x_1+Ax)$

Desenvolvendo f(x1+Ax):

$f(x_1+Ax) = 3.[(x_1)^2+2.x_1.Ax+(Ax)^2]+7[(x_1)+Ax]\\\\f(x_1+Ax) = 3.(x_1)^2+6.x_1.Ax+3(Ax)^2+7.(x_1)+7.Ax$

Resolvendo o limite, substituindo o f(x1+Ax) e o f(x1)

$m=\lim_{Ax \to 0} \frac{3.(x_1)^2+6.x_1.Ax+(Ax)^2+7(x_1)+7Ax-[~3(x_1)^2+7.(x_1)]}{Ax}\\\\\\m= \lim_{Ax \to 0} \frac{3.(x_1)^2+6.x_1.Ax+(Ax)^2+7(x_1)+7.Ax-3(x_1)^2-7.(x_1)}{Ax}\\\\\\m= \lim_{Ax \to 0} \frac{6.x_1.Ax+(Ax)^2+7.Ax}{Ax}\\\\\\m= \lim_{Ax \to 0} \frac{Ax.(6x_1+Ax+7)}{Ax}\\\\\\\\m= \lim_{Ax \to 0} ~6(x_1)+Ax+7 => \boxed{m= 6.(x_1)+7}$

Assim, o valor do coeficiente angular "m" é 6(x1) + 7

Já temos o ponto yi= f(x1) = 3(x1)²+7(x1), e o ponto x1. Portanto podemos achar a equação geral da reta tangente.

$\boxed{y-yo=m.(x-xo)}\\\\\\y-[3(x_1)^2+7(x_1)] = [6.(x_1) + 7]. (x-x1)\\\\y-3(x_1)^2-7(x_1) = 6(x_1).x- 6(x_1)^2+ 7x - 7(x_1)\\\\y-3(x_1)^2-7(x_1) -6(x_1).x + 6(x_1)^2-7x+7(x_1)=0\\\\y+3(x_1)^2 - 6.(x_1).x - 7x = 0 \\\\\boxed{y+3.(x_1)^2-x.(6x_1+7)=0}$

- Essa é a equação geral da reta tangente ao ponto (x1)