Question

Encontre a raiz cúbica de 216 por meio da 2ª lei de Moivre.

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em números complexos.

Buscamos as raízes cúbicas de $216$. Para isso, utilizaremos a segunda lei de De Moivre, para radiciação de números complexos.

Consideremos uma equação, em que $\mathbf{U}=\mathbb{C}$:

$z^3=216$

Sabemos que, de acordo com o Teorema fundamental da álgebra, uma equação de grau $n$ deve apresentar $n$ raízes, reais ou complexas.

A segunda lei de De Moivre nos garante que as $n$ raízes serão calculadas pela fórmula:

$\sqrt[n]w=\sqrt[n]{|w|}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right)$, em que $|w|$ é o módulo do número complexo, $\theta$ é o argumento, $k\in\mathbb{Z}$ e varia de $0$ a $n-1$.

O módulo de um número complexo $z=a+bi$ é dado por $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Seu argumento é dado por $\theta=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$.

Então, utilizando $n=3$ e considerando o número complexo $w=216+0i$, teremos:

$|w|=\sqrt{216^2+0^2}\Rightarrow |w|=\sqrt{46656}\Rightarrow |w|=216\\\\\\ \theta=\arctan\left(\dfrac{0}{216}\right)\Rightarrow \theta=\arctan(0)\Rightarrow \theta=0~rad$

Substituindo estes dados, teremos as raízes:

$w_1=\sqrt[3]{216}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\cdot 0\cdot \pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\cdot 0\cdot \pi}{3}\right)\right)\\\\\\ w_2=\sqrt[3]{216}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\cdot 1\cdot \pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\cdot 1\cdot \pi}{3}\right)\right)\\\\\\ w_3=\sqrt[3]{216}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{0+2\cdot 2\cdot \pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{0+2\cdot 2\cdot \pi}{3}\right)\right)$

Calcule o radical, multiplique e some os valores

$w_1=6\cdot\left(\cos(0)+i\sin(0)\right)\\\\\\ w_2=6\cdot\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right)\\\\\\ w_3=6\cdot\left(\cos\left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\right)$

Sabendo que $\cos(0)=1,~\sin(0)=0,~\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2},~\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},~\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ e $\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, teremos:

$w_1=6\cdot(1+0)\\\\\\ w_2=6\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+i\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\\\\ w_3=6\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+i\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$

Some e multiplique os valores e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$w_1=6\\\\\\ w_2=-3+3i\sqrt{3}\\\\\\ w_3=-3-3i\sqrt{3}$

Estas são as raízes que buscávamos.