Question

Encontre a primeira e a segunda derivadas de y = $\frac{x^{2} }{x+1}$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\displaystyle{\bold{\dfrac{dy}{dx}=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}~\biggr|~\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{2}{(x+1)^3}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para encontrarmos a derivada desta função racional, devemos relembrar alguns conceitos.

• A derivada de um quociente (ou função racional) é dada por:

                 

         $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{d(u(x))}{dx}\cdot v(x)-\dfrac{d(v(x))}{dx}\cdot u(x)\right)}{(v(x))^2}$

• A derivada de n-ésima ordem é dada por:

         $\dfrac{d^nf(x)}{dx^n}=\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}\cdots f(x)\right)\right)}}_{n~vezes}$

Então, seja a função $y=\dfrac{x^2}{x+1}$

Apliquemos a propriedade comentada acima para calcularmos a primeira derivada:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{d(x^2)}{dx}\cdot(x+1)-\dfrac{d(x+1)}{dx}\cdot x^2}{(x+1)^2}$

Sabemos que $\dfrac{d(x^n)}{dx}=n\cdot x^{n-1}$ e por conseguinte, a derivada de uma constante é zero. Lembre-se também que a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas, então:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x\cdot(x+1)-1\cdot x^2}{(x+1)^2}$

Expanda o binômio no denominador e efetue a propriedade distributiva da multiplicação no numerador

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{x^2+2x+1}$

Some os termos semelhantes no numerador

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2+2x}{x^2+2x+1}$

Esta é a primeira derivada da função racional.

Podemos simplificá-la, seguindo os seguintes passos:

Some e subtraia 1 no numerador

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2+2x+\bold{1-1}}{x^2+2x+1}$

Reescreva a fração como uma soma de frações

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+2x+1}-\dfrac{1}{x^2+2x+1}$

Simplifique a primeira fração

$\displaystyle{\boxed{\dfrac{dy}{dx}=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}}}$

Utilizando a outra propriedade, podemos calcular a segunda derivada da função. Ela nos diz que a derivada segunda da função é calculada a partir da derivada da primeira, logo:

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(1-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)$

Da mesma forma que a anterior, utilizaremos a propriedade da soma e de funções racionais. Além disso, utilizaremos a regra da cadeia.

• A regra da cadeia consiste em derivar uma função composta:  

         $\dfrac{d}{dx}[u(v(x))]=\dfrac{d(v(x))}{dx}\cdot u'(v(x))$

Logo, teremos

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)$

Aplique a propriedade da derivada de funções racionais

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac{\dfrac{d}{dx}(1)\cdot(x+1)^2-\dfrac{d}{dx}(x-1)^2\cdot1}{((x+1)^2)^2}\right)$

Aplique as propriedades da derivada de uma constante e da regra da cadeia, discutidas anteriormente. Calcule a potência de potência no denominador, assim:

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac{0\cdot(x+1)^2-2\cdot(x+1)\cdot1}{(x+1)^4}\right)$

Multiplique os valores

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{2\cdot(x+1)}{(x+1)^4}\right)$

Podemos simplificar a fração

$\boxed{\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{2}{(x+1)^3}\right)}$

Esta é a segunda derivada da função.