Question

encontre a primeira derivada usando o limite:
y= X ao cubo/2​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{3x^2}{2}~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos calcular a primeira derivada da função utilizando a definição de derivada por limite.

Lembre-se que, dada uma função $f(x)$ derivável, sua derivada pode ser calculada por: $\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$.

Então, seja a função $f(x)=\dfrac{x^3}{2}$. Como se trata de uma função polinomial, ela é contínua e portanto derivável em $\mathbb{R}$. Substituindo esta função na definição, temos:

$\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\dfrac{(x+\Delta x)^3}{2}-\dfrac{x^3}{2}}{\Delta x}$

Sabendo que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, temos

$\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\dfrac{x^3+3x^2\Delta x+3x{\Delta x}^2+{\Delta x}^3}{2}-\dfrac{x^3}{2}}{\Delta x}$

Some as frações no numerador e cancele os termos opostos

$\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\dfrac{x^3+3x^2\Delta x+3x{\Delta x}^2+{\Delta x}^3-x^3}{2}}{\Delta x}\\\\\\ \underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\dfrac{3x^2\Delta x+3x{\Delta x}^2+{\Delta x}^3}{2}}{\Delta x}$

Calcule a fração de frações

$\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{3x^2\Delta x+3x{\Delta x}^2+{\Delta x}^3}{2\Delta x}$

Simplifique a fração por um fator $\Delta x$

$\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{3x^2+3x{\Delta x}+{\Delta x}^2}{2}$

Lembre-se que:

• O limite do produto entre uma constante e uma função é dado por: $\underset{x\rightarrow c}\lim~a\cdot f(x)=a\cdot\underset{x\rightarrow c}\lim~ f(x)$.
• O limite de uma soma de funções é igual a soma dos limites das funções.
• O limite de uma função polinomial é dado por: $\underset{x\rightarrow c}\lim~ f(x)=f(c)$.

Aplique a propriedade da constante

$\dfrac{1}{2}\cdot\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~3x^2+3x{\Delta x}+{\Delta x}^2$

Calcule o limite

$\dfrac{1}{2}\cdot(3x^2+3x\cdot0+0^2)$

Multiplique os valores e some os valores

$\dfrac{3x^2}{2}$

Este é a derivada desta função.