Question

Encontre a matriz inversa pelo método da adjunta dos seguintes exercícios:

Answer 1

Olá, boa noite.

Para encontrarmos as matrizes inversas de $A$ e $B$ pelo método da matriz adjunta, devemos relembrar algumas propriedades.

A matriz adjunta é a matriz transposta dos cofatores, ou seja: $\bold{adj(A)=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\\\end{bmatrix}}$. O mesmo é válido para matrizes quadradas de ordem maior.

Então, lembre-se que os cofatores são calculados a partir da fórmula $A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\det D_{ij}$, tal que $D_{ij}$ é a matriz formada pelos elementos que restam após eliminarmos a linha $i$ e coluna $j$ escolhidas.

Antes de começarmos a calcular os cofatores devemos lembrar: a fórmula para encontrar a matriz inversa é: $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\cdot\bold{adj(A)}$, logo a matriz admite inversa se, e somente se, seu determinante for não nulo.

a)  $A=\begin{bmatrix}3&1\\-2&4\\\end{bmatrix}$

Calculamos o determinante de $A$ pela Regra de Sarrus para matrizes de ordem 2. Consiste em encontrarmos a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Logo, $\det A=\begin{vmatrix}3&1\\-2&4\\\end{vmatrix}=3\cdot 4-1\cdot(-2)=12+2=14$

Dessa forma, calculando os cofatores, teremos:

$\begin{cases}A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}4\\\end{vmatrix}\\A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}-2\\\end{vmatrix}\\ A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix}1\\\end{vmatrix}\\ A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix}3\\\end{vmatrix}\\\end{cases}$

O determinante de uma matriz unitária é seu próprio elemento, logo some os valores e calcule as potências

$\begin{cases}A_{11}=(-1)^{2}\cdot 4=4\\A_{12}=(-1)^{3}\cdot(-2)=2\\ A_{21}=(-1)^{3}\cdot 1=-1\\ A_{22}=(-1)^{4}\cdot 3=3\\\end{cases}$

Substituindo estes valores na matriz adjunta, teremos a matriz inversa:

$A^{-1}=\dfrac{1}{14}\cdot\begin{bmatrix}4&-1\\2&3\\\end{bmatrix}$

O produto de uma constante por uma matriz é igual a matriz tal que seus elementos estão multiplicados pela constante, logo

$A^{-1}=\begin{bmatrix}\dfrac{4}{14}&-\dfrac{1}{14}\\\\ \dfrac{2}{14}&\dfrac{3}{14}\\\end{bmatrix}$

Simplifique as frações

$A^{-1}=\begin{bmatrix}\dfrac{2}{7}&-\dfrac{1}{14}\\\\ \dfrac{1}{7}&\dfrac{3}{14}\\\end{bmatrix}$

b)  $B=\begin{bmatrix}2&1&0\\-3&1&4\\1&6&5\\\end{bmatrix}$

Calculando este determinante pela Regra de Sarrus, temos:

$\det B=\begin{vmatrix}2&1&0\\-3&1&4\\1&6&5\\\end{vmatrix}=2\cdot1\cdot5+1\cdot4\cdot1+0\cdot(-3)\cdot 6-(1\cdot(-3)\cdot5+2\cdot4\cdot6+0\cdot1\cdot1)$

Multiplique e some os valores

$\det B=10+4-(-15+48)\\\\\\ \det B=-19$

Calculemos o cofator $B_{11}$, para demonstração

$B_{11}=(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}1&4\\6&5\\\end{vmatrix}$

Calcule o determinante pela regra de Sarrus e some os valores

$B_{11}=(-1)^{2}\cdot(1\cdot 5-4\cdot6)=-19$

Fazemos o mesmo para o restante dos cofatores

$\begin{cases}B_{12}=(-1)^{1+2}\cdot (-19)=19\\B_{13}=(-1)^{1+3}\cdot(-19)=-19\\B_{21}=(-1)^{2+1}\cdot5=-5\\B_{22}=(-1)^{2+2}\cdot10=10\\B_{23}=(-1)^{2+3}\cdot11=-11\\B_{31}=(-1)^{3+1}\cdot4=4\\B_{32}=(-1)^{3+2}\cdot8=-8\\B_{33}=(-1)^{3+3}\cdot5=5\\\end{cases}$

Substituindo estes valores na matriz adjunta, teremos a matriz inversa:

$B^{-1}=-\dfrac{1}{19}\cdot\begin{bmatrix}-19&-5&4\\ 19&10&-8\\-19&-11&5 \\\end{bmatrix}$

Multiplique a matriz pela constante e simplifique as frações

$B^{-1}=\begin{bmatrix}1&\dfrac{5}{19}&-\dfrac{4}{19}\\\\ -1&-\dfrac{10}{19}&\dfrac{8}{19}\\\\ 1&\dfrac{11}{19}&-\dfrac{5}{19} \\\end{bmatrix}$