Question

Encontre a matriz inversa da matriz chave (1 2) (3 4)

Answer 1

Seja A a matriz chave e X a matriz inversa, de modo que AX = I₂ (matriz identidade).

Então,

$A = \begin{pmatrix}1&2\\ \:\:3&4\end{pmatrix}\;\;e\;\;X=\begin{pmatrix}a&b\\ \:\:c&d\end{pmatrix}$

Multiplicando A por X, obtemos

$\begin{pmatrix}1&2\\ \:\:3&4\end{pmatrix}\; \cdot \; \begin{pmatrix}a&b\\ \:\:c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\ \:\:0&1\end{pmatrix}\\\\\\ = \begin{pmatrix}1a+2c&1b+2d\\ \:\:3a+4c&3b+4d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\ \:\:0&1\end{pmatrix}$


Da última igualdade, resolvemos dois sistemas:

1º sistema:

$\left \{ \big{\big{1a+2c = 1} \atop \big{3a+4c=0}} \right. \\\\\\ a+2c = 1 \implies a = 1-2c\\ substituindo\;\;na\;\;2\ª\;\;linha\\ 3a+4c=0\\ 3(1-2c)+4c=0\\ 3-6c+4c=0 \implies -2c=-3\impliesc = \frac{3}{2} \\\\ substituindo\;\; c\;\; na\;\; 1\ª\;\; linha\\ a+2c = 1\\ a+\not{2}\big( \dfrac{3}{\not{2}}\big) = 1 \implies a = 1-3\implies a = -2\\\\ Portanto,\;\;a = -2\;\;e\;\;c=\frac{3}{2}$


2º sistema:

$\left \{ \big{\big{1b+2d = 0} \atop \big{3b+4d = 1}} \right. \\\\\\ b+2d = 0\implies b =-2d\\ substituindo\;\;na\;\;2\ª\;\;linha\\ 3b+4d=1\\ 3(-2d)+4d=1\\ -6d+4d=1 \implies -2d=1\implies d = -\frac{1}{2} \\\\ substituindo\;\; d\;\; na\;\; 1\ª\;\; linha\\ b+2d = 0\\ b+\not{2}\big(- \dfrac{1}{\not{2}}\big) = 0 \implies b = 1\\\\ Portanto,\;\;b = 1\;\;e\;\;d=-\frac{1}{2}$


Deste modo, a matriz inversa da matriz chave é

$X = \begin{pmatrix}-2&1\\ \:\: \frac{3}{2} &-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$