Question

Encontre a integral indefinida dada por ∫ ( c o s ( x ) ) 3 . s i n ( x ) d x

Answer 1

Temos a seguinte integral indefinida:

$\sf \int cos {}^{3} (x).sen(x)dx$

Para resolver essa integral vamos usar o método da integração por substituição, nesse método tem-se uma função e a sua derivada ao mesmo tempo. Digamos que a função "u" seja o cosseno, essa tal função deverá ser derivada:

$\sf u = cos(x)\Longrightarrow \frac{du}{dx} = - sen(x) \\ \\ \sf du = - 1. sen(x).dx\Longrightarrow - du = sen(x)dx$

Fazendo as substituições em relação a "u":

$\sf \int u {}^{3} .( - du)\Longrightarrow - \int u {}^{3} .du$

Agora é só integral usando a regra da potência:

$\sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + k \\ \\ \sf - \int u {}^{3} du = - \frac{u {}^{3 + 1} }{3 + 1} + k\Longrightarrow - \frac{ cos {}^{4} (x)}{4} + k$

Portanto temos que a reposta é:

$\boxed{ \boxed{ \sf \int cos {}^{3} (x).sen(x)dx = - \frac{cos {}^{4}(x) }{4} + k, \: k \in \mathbb{ R }}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

- 1/4 [ cos(x)]^4 +C

Explicação passo a passo:

Resposta do gabarito!