Question

Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-5x+20 no ponto (x1,y1)

Answer 1

Resposta:

Olá!

Explicação passo-a-passo:

Para resolver o problema, teremos que fazer uso de uma das três ferramentas fundamentais do Cálculo: o limite de uma função.

A questão pede para que descubramos o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y = x² - 5x + 20 no ponto $\: (x_{1}, y_{1}) \:$. Sabemos que o gráfico da função acima é uma parábola com concavidade voltada para cima (a > 0).

Destacando nesta parábola o ponto $\: P (x_{1}, y_{1}) \:$, traçamos a tangente a esta por P. Mas como descobrir sua inclinação (coeficiente angular)?

Destaquemos um ponto $\: Q (x, y) \:$ de coordenadas variáveis. Sabemos que por P e Q passa uma reta secante à parábola. Se fizermos $\: x\:$ tender a $\: x_{1} \:$, consequentemente $\: y \:$ tenderá a $\: y_{1} \:$, e a inclinação da secante tenderá à da tangente. Chamando a inclinação da secante de $\: m_{s} \:$ e a da tangente de $\: m_{t} \:$, podemos escrever essa causalidade sob forma de limite de uma função:

$\huge{\lim_{x \to x_{1}} m_{s} = m_{t}}$

Sabendo que o coeficiente angular da secante é o quociente entre a distância de $\: y \:$ a $\: y_{1} \:$ e a de $\: x \:$ a $\: x_{1} \:$, temos:

$m_{s} = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}$

Visto que $\: y = {x}^{2} - 5x + 20 \:$, podemos reescrever o limite como:

$\huge{m_{t} = \lim_{x \to x_{1}} \frac{({x}^{2} - 5x + 20) - ({x_{1}}^{2} - 5x_{1} + 20)}{x - x_{1}}$

Calculando o limite desejado:

$m_{t} = \lim_{x \to x_{1}} \frac{({x}^{2} - 5x + \cancel{20}) - ({x_{1}}^{2} - 5x_{1} + \cancel{20})}{x - x_{1}}$

$m_{t} = \lim_{x \to x_{1}} \frac{{x}^{2} - 5x - {x_{1}}^{2} + 5x_{1}}{x - x_{1}}$

$m_{t} = \lim_{x \to x_{1}} \frac{(x + x_{1})\cancel{(x - x_{1})} - 5 \: \cancel{(x - x_{1})}}{\cancel{x - x_{1}}}$

$m_{t} = \lim_{x \to x_{1}} (x + x_{1} -5)$

Agora, para calcular o limite, podemos substituir $\: x \:$ por $\: x_{1} \:$:

$m_{t} = \lim_{x \to x_{1}} (x + x_{1} - 5) = x_{1} + x_{1} - 5$

Chamando a inclinação da tangente apenas de $\: m \:$, temos:

$\huge{\boxed{\boxed{m(x_{1}) = 2 x_{1} - 5}}}$

Espero ter ajudado :)