Question

Encontre a inclinação da reta tangente á curva y=9-2x² no ponto (2,1)

Answer 1

Resposta:

Dada a função real $f$ definida por:

$f(x) = 9 - 2x^2,$

determinemos o que se pede.

a) A inclinação da reta tangente à curva de $f$ no ponto $\left(2 , 1 \right)$.

Sabemos que a inclinação da reta tangente a uma curva dada é igual à derivada da função naquele ponto.

Perceba que a função $f$ é quadrática. Isto significa que ela é definida em todo o conjunto dos números reais, além de ser contínua e derivável em todo o seu domínio.

Calculemos sua derivada:

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} \left(9 - 2x^2 \right)\\\\\Longleftrightarrow \frac{df}{dx} = -4x.$

No ponto de abscissa $x = 2$, temos:

$\frac{df}{dx} = -4\cdot 2 = \boxed{-8.}$

Portanto, a inclinação da reta tangente a $f$ no ponto $\left(2, 1\right)$ é -8.

b) Encontre uma equação dessa reta tangente.

Temos:

$y = mx + b\\\\\Longleftrightarrow 1 = -8 \cdot 2 + b\\\\\Longleftrightarrow b = 17.$

Assim, a equação da reta tangente a $f$, que passa pelo ponto $\left(2, 1\right)$, é:

$\boxed{y = -8x + 17.}$