Question

Encontre a função inversa de f(x)=1−x3−−−−−√3 e o domínio no qual ela é invertível.

a)f−1(x)=11−x3√3
Dom(f)={x∈R+}

b) f−1(y)=1−y3−−−−−√3
Dom(f)={x∈R}

c) f−1(y)=1−y3−−−−−√3
Dom(f)={x∈R|x<1}

d) f−1(x)=11−x3√3
Dom(f)={x∈R}

Answer 1

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{c)}~\gray{f^{-1}(y)}~\pink{=}~\blue{\sqrt[3]{1 - y^3}}~\green{e}~\gray{Dom(f)}~\pink{=}~\blue{\{x \in R | x < 1\}}~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá novamente, Kira. Vamos a mais um exercício ❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ f(x) = \sqrt[3]{1 - x^3} }}}$

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☔ Inicialmente , para encontrarmos uma função inversa, invertemos as variáveis (neste caso x ⇔ y)

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➡ $\large\sf\blue{ x = f(y)}$

$\large\sf\blue{ = f^{-1}(x) }$

$\large\sf\blue{ = \sqrt[3]{1 - y^3}}$

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☔ Dentre as 4 opções sabemos que esta é a forma procurada pelo enunciado. Sabemos que, para que a função seja invertível, então tanto f(x) como f-¹(x) devem ser funções bijetoras da forma R ⇒ R e para tal temos que no Domínio só existam pontos com uma imagem exclusiva e sem nenhum ponto da imagem sobrando. Desenvolvendo nossa função inversa encontramos

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➡ $\large\sf\blue{ x = \sqrt[3]{1 - y^3}}$

➡ $\large\sf\blue{ x^3 = \left(\sqrt[3]{1 - y^3}\right)^3}$

➡ $\large\sf\blue{ x^3 = 1 - y^3}$

➡ $\large\sf\blue{ y^3 = 1 - x^3}$

➡ $\large\sf\blue{ \sqrt[3]{y^3} = \sqrt[3]{1 - x^3}}$

➡ $\large\sf\blue{ y = \sqrt[3]{1 - x^3}}$

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☔ Tendo facilitado por f(x) = f-¹(x) sabemos que sendo x menor do que 1 então sempre teremos um valor dentro da raiz positivo, o que garante nossa condição de reversibilidade.

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{c)}~\gray{f^{-1}(y)}~\pink{=}~\blue{\sqrt[3]{1 - y^3}}~\green{e}~\gray{Dom(f)}~\pink{=}~\blue{\{x \in R | x < 1\}}~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$