Question

Encontre a função f(x) se f''(x) = 3x² − x + 2 e f(0) = 0 e f(1) = 2.

Answer 1

Temos:
f''(x)=3.x² -x + 2
Queremos achar f(x), então teremos que integrar duas vezes (integrais indefinidas).
Integrando a primeira:
f''(x)=df'(x)/dx=3.x² -x + 2
∫df'(x)=∫(3.x² -x + 2)dx
f'(x)=x³ -x²/2 +2.x +C1
Integrando a segunda:
f'(x)=df(x)/dx=x³ -x²/2 +2.x +C1
∫f(x)=(x³ -x²/2 +2.x +C1)dx
f(x)=(x^4)/4 -x³/6 +x² +C1.x +C2

Precisamos achar o valor das constantes. Usamos as condições de contorno:
Temos que  f(0)=0, então para x=0, f(x)=0
f(x)=(x^4)/4 -x³/6 +x² +C1.x +C2
f(0)=0=(0^4)/4 -0³/6 +0² +C1.0 +C2
0=0-0+0+0+C2
C2=0

Ficamos:
f(x)=(x^4)/4 -x³/6 +x² +C1.x +0

Usando a segunda condição de contorno:
Temos que f(1)=2, então para x=1, f(x)=2
f(x)=(x^4)/4 -x³/6 +x² +C1.x +0
f(1)=2=(1^4)/4 -1³/6 +1² +C1.1 +0
2=1/4 -1/6 +1 +C1
C1=2-1/4+1/6-1
Fazendo mmc:
C1=24/12-3/12+2/12-12/12
C1=(24-3+2-12)/12
C1=11/12

Então nossa f(x) fica:
f(x)=(x^4)/4 -x³/6 +x² +11.x/12

Espero ter ajudado =)