Question

Encontre a função de lucro "L(x)" de um produto que possui uma função de custo médio dada pela equação: cm(x)=x2+2x+25 e uma função de receita marginal
dada pela equação: rmg(x)= 10-8x+6x2. POR FAVOR COLOQUE OS CÁLCULOS OBRIGADA

1) L(X)=X3-6X2-15X
2) L(X)=X3-2X2+35X
3) L(X)=X3-7X2-17X
4) L(X)=X3-2X2+35X
5) L(X)=X3-6X2+15X

Answer 1

O lucro total é a diferença entre a receita total pelo custo total.

$L_{(x)}=R_{(x)}-C_{(x)}$

Porém, temos apenas as funções do custo médio e receita marginal.
Então precisaremos encontrar a função custo total e receita total.

Encontrando o custo total:

O custo médio é o custo total pela quantidade produzida, onde 'x' representa essa quantidade:

$C_{m(x)}=\frac{C_{(x)}}{x}$

Desta forma, para retornarmos para a função custo total, precisamos multiplicar a função do custo médio pelo valor de x:

$C_{(x)}=C_{m(x)} \times x\\\\ C_{(x)}=(x^2+2x+25)\times x\\\\ C_{(x)}=x^3+2x^2+25x$

Encontrando a receita total:

A função receita marginal é a derivada da função receita total.
Assim, precisamos aplicar a integral (antiderivada) para retornarmos a função :

$R_{(x)}= \int R_{mg(x)}.dx\ \ \ \ \ \ \ \'e\ o\ mesmo\ que \ \ \ \ \ \ R_{(x)}= \int R'_{(x)}.dx\\\\ R_{(x)} = \int(6x^2-8x+10).dx\\\\ Integrando:\\\\ R_{(x)}=\frac{6x^{2+1}}{2+1}-\frac{8x^{1+1}}{1+1}+\frac{10x^{0+1}}{0+1}+C\\\\ R_{(x)}=\frac{6x^3}{3}-\frac{8x^{2}}{2}+10x+0\\\\ R_{(x)}=2x^3-4x^2+10x$

OBS: A constante de integração é zero, pois, se não vender algo, não terá receita.

Encontrando a função lucro:

Agora que temos as funções custo total e receita total, podemos calcular o lucro total:

$L_{(x)}=R_{(x)}-C_{(x)}\\\\ L_{(x)}=(2x^3-4x^2+10x)-(x^3+2x^2+25x)\\\\ L_{(x)}=2x^3-4x^2+10x-x^3-2x^2-25x)\\\\ \boxed{\boxed{L_{(x)}=x^3-6x^2-15x}}$

Podemos concluir que a alternativa correta é o número 1.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!