Question

Encontre a função da equação diferencial: y'= x³- 2sen(x)

Answer 1

A função que é a solução geral desta equação diferencial ordinária (e.d.o.) é y = x⁴/4 + 2cosx + C.

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anaclararose222, veja que nessa equação x³ – 2senx expressa o resultado da derivada de y em relação a x.

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Antes de tudo, vale salientar que:

$\sf\int p(x)\,dx=P(x)~~\implies~~P'(x)=p(x)$

Pois a integração é a execução inversa da derivação; se integrando p(x) encontra-se sua primitiva, então derivando essa primitiva encontra-se p(x).

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Tendo isto como base podemos encontrar a solução geral desta e.d.o. Para facilitar o entendimento, use a notação y' = dy/dx, daí segue que:

$\sf y'=x^3-2senx$

$\sf \dfrac{dy}{dx} =x^3-2senx$⠀⟶⠀separe as variáveis.

$\sf dy=(x^3-2senx)\,dx$⠀⟶⠀integre ambas as expressões.

$\sf \int dy=\int(x^3-2senx)\,dx$

$\sf y=\int(x^3-2senx)\,dx$

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Agora você só precisa calcular a integral desta expressão para solucionar a equação. Curte só:

$\sf y = \int x^3dx-\int2senx\,dx$

$\sf y = \int x^3dx-2\int senx\,dx$

$\sf y = \dfrac{x^4}{4}+c_1+2cosx+c_2$

$\boxed{\sf y = \dfrac{x^4}{4}+2cosx+C~ \: ;~ \: C\in\mathbb{R}}$

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Você deve ter visto que eu adicionei as constantes “c₁” e “c₂” após as integrações mas no final as resumi numa contante “C”, né? Isso pode ser feito sem problema algum pois a soma entre duas contantes resulta numa outra constante.

*Devido ao fato de a constante “C” estar presente na solução, esta define-se como solução geral da eq. dif. em questão. Em um caso onde essa contante é um valor conhecido — mediante às condições iniciais que fossem impostas —, denominaríamos esta solução como solução particular da eq.

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$\therefore$⠀denomina-se a função y = x⁴/4 + 2cosx + C como a solução geral de y' = x³ – 2senx.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.