Question

encontre a fração geratriz :
a) 1,3444...
b)0,0111...
c)0,1111...
d)3,1555...
e)4,111...
f)0,323232...
g)2,121212...
h)1,131313

Answer 1

Olá!

Os números racionais são números expressos em frações ou em partes decimais.
Dízimas periódicas são números racionais com decimais periódicos, sendo que a repetição desses números formam a parte periódica.

Como eu posso determinar as frações geratrizes dos números racionais?

De uma forma mais clara para a sua compreensão, cada dízima é composta por um período (o número repetido sucessivamente após a vírgula).

a) 1,3444 ... possui número inteiro igual a 1, antiperíodo igual a 3 e período igual a 4

Vejamos, a parte do período:

0,3444... = possui antiperíodo igual a 3 e período igual a 4

As regras mudam um pouco, pois temos antiperíodo e período, formaremos uma fração irredutível da seguinte forma:

*Para o numerador, adotamos a parte inteira com antiperíodo e período (34) subtraindo com o antiperíodo (3).
*Para o denominador, adotamos denominador 90
- usamos o dígito 9, repetindo o dígito 9 de acordo com a quantidade de período (4).
- usamos o dígito 0, devido ao (3) do antiperíodo. 

Assim: 0,3444 ... = $\frac{34-3}{90} = \frac{31}{90}$

Agora, como possui parte inteira (1,3444...), separamos a parte decimal do inteiro e somamos, e aplicamos a regra anterior:

1,3444... = $1 + 0,3444 = 1 + \frac{31}{90} = \frac{90+31}{90} = \boxed{\frac{121}{90} }$

b) 0,0111... possui antiperíodo igual a 0 e período igual a 1 

As regras mudam um pouco, pois temos antiperíodo e período, formaremos uma fração irredutível da seguinte forma:

*Para o numerador, adotamos a parte inteira com antiperíodo e período (1) subtraindo com o antiperíodo (0).
*Para o denominador, adotamos denominador 90
- usamos o dígito 9, repetindo o dígito 9 de acordo com a quantidade de período (1).
- usamos o dígito 0, devido ao (0) do antiperíodo. 

Assim: 0,0111 ... = $\frac{1-0}{90} = \boxed{\frac{1}{90}}$

c) 0,111... possui período igual a 1 

Para que se forme a fração, utilize o numerador (como período) e o denominador (como dígito 9, repetindo o dígito 9 de acordo com a quantidade de período). 

Assim: 0,111... = $\boxed{\frac{1}{9}}$

d) 3,1555... Possui número inteiro igual a 3, possui antiperíodo igual a 1 e período igual a 5 

vejamos a parte do período: 

0,1555... = possui antiperíodo igual a 1 e período igual a 5 

As regras mudam um pouco, pois temos antiperíodo e período, formaremos uma fração irredutível da seguinte forma:

*Para o numerador, adotamos a parte inteira com antiperíodo e período (15) subtraindo com o antiperíodo (1).
*Para o denominador, adotamos denominador 90
- usamos o dígito 9, repetindo o dígito 9 de acordo com a quantidade de período (5).
- usamos o dígito 0, devido ao (1) do antiperíodo. 

Assim: 0,1555 ... = $\frac{15-1}{90} = \frac{14}{90}$

Agora, como possui parte inteira (3,1555...), separamos a parte decimal do inteiro e somamos, e aplicamos a regra anterior:

3,1555... = $3 + 0,1555 = 3 + \frac{14}{90} = \frac{270+14}{90} = \boxed{\frac{284}{90} }$ 

e) 4,111... possui número inteiro igual a 4, possui período igual a 1 

vejamos a parte do período: 

0,111... = possui período igual a 1

Para que se forme a fração, utilize o numerador (como período) e o denominador (como dígito 9, repetindo o dígito 9 de acordo com a quantidade de período). 

Assim: 0,111... = $\frac{1}{9}$

 Agora, como possui parte inteira (4,111...), separamos a parte decimal do inteiro e somamos, e aplicamos a regra anterior:

4,111... = $4 + 0,111 = 4 + \frac{1}{9} = \frac{36+1}{9} = \boxed{\frac{37}{9} }$

 f) 0,323232... possui período igual a 32 

Para que se forme a fração, utilize o numerador (como período) e o denominador (como dígito 9, repetindo o dígito 9 de acordo com a quantidade de período).

Assim: 0,323232... = $\boxed{\frac{32}{99}}$

g) 2,121212... Possui número inteiro igual a 2 e possui período igual a 12 

vejamos a parte do período: 

0,121212... = possui período igual a 12

Para que se forme a fração, utilize o numerador (como período) e o denominador (como dígito 9, repetindo o dígito 9 de acordo com a quantidade de período). 

Assim: 0,121212... = $\frac{12}{99}$

Agora, como possui parte inteira (2,121212...), separamos a parte decimal do inteiro e somamos, e aplicamos a regra anterior:

$2,121212... =2 + 0,121212 = 2 + \frac{12}{99} = \frac{198+12}{99} = \boxed{\frac{210}{99} \frac{\div3}{\div3}} = \boxed{\frac{70}{33}}$

 h) 1,131313... Possui número inteiro igual a 1 e período igual a 13 

vejamos a parte do período: 

0,131313... = possui período igual a 13

Para que se forme a fração, utilize o numerador (como período) e o denominador (como dígito 9, repetindo o dígito 9 de acordo com a quantidade de período). 

Assim: 0,131313... = $\frac{13}{99}$

Agora, como possui parte inteira (1,131313...), separamos a parte decimal do inteiro e somamos, e aplicamos a regra anterior:

1,131313... = $1 + 0,131313 = 1 + \frac{13}{99} = \frac{99+13}{99} = \boxed{\frac{112}{99} }$