Question

Encontre a fórmula fechada para relação de recorrência a seguir.


$\mathsf{a_1=3}\\\\\\\mathsf{a_n=5a_{n-1}+2^{n-1}\qquad\qquad~~~ n\ \textgreater \ 1}$


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Olá Superaks!

Primeiramente vamos utilizar a lei de recorrência para encontrar os 6 primeiros termos e identificar se há alguma formação específica em função de n.

$a_1=3\\\\a_2=5*3+2^1\\\\a_3=5*(5*3+2^1)+2^2\\a_3=5^2*3+5*2^1+2^2\\\\a_4=5*(25*3+5*2^1+2^2)+2^3\\a_4=5^3*3+5^2*2^1+5*2^2+2^3\\a_4=5^3*2+5^3*2^0+5^2*2^1+5^1*2^2+5^0*2^3\\\\a_5=5*(5^3*3+5^2*2^1+5*2^2+2^3)+2^4\\a_5=5^4*3+5^3*2^1+5^2*2^2+5*2^3+2^4\\a_5=5^4*2+5^4*2^0+5^3*2^1+5^2*2^2+5*2^3+5^0*2^4\\\\a_6=5^5*2+5^5*2^0+5^4*2^1+5^3*2^2+5^2*2^3+5^1*2^4+5^0*2^5$

Podemos perceber que as expressões são compostas por um termo que segue a lei de formação $5^{n-1}*2$ somado com um polinômio semelhante ao desenvolvimento de um binômio de Newton na forma $(5+2)^{n-1}$, só que sem os coeficientes. Podemos traduzir $a_6$ pela seguinte expressão.

$a_6=5^5*2+\sum_{k=0}^55^{5-k}*2^k\\a_6=5^5*2+\sum_{k=0}^55^5*\frac{2^k}{5^k}\\a_6=5^5*2+\sum_{k=0}^55^5*(\frac{2}{5})^k\\a_6=5^5*2+5^5*\sum_{k=0}^5(\frac{2}{5})^k$

A fórmula geral de $a_n$ em função de n será:

$a_n=5^{n-1}*2+5^{n-1}*\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{2}{5})^k\\a_n=5^{n-1}*(2+\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{2}{5})^k)\\a_n=5^{n-1}*(2+\frac{(\frac{2}{5})^0-(\frac{2}{5})^n}{1-\frac{2}{5}})\\a_n=5^{n-1}*(2+\frac{1-(\frac{2}{5})^n}{\frac{3}{5}})\\a_n=5^{n-1}*(2+\frac{5-2^n*5^{-n+1}}{3})\\a_n=5^{n-1}*\frac{6+5-2^n*5^{-n+1}}{3}\\a_n=5^{n-1}*\frac{11-2^n*5^{-n+1}}{3}\\\\\boxed{a_n=\frac{11*5^{n-1}-2^n}{3}}$