Question

Encontre a fórmula fechada para a soma abaixo


$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n k(k-1)(k-2)\binom{n}{k}}$


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Olá Aks, bom dia!

 Resolvi a tarefa aplicando alguns conceitos envolvendo Combinatória e Triângulo de Pascal. Veja:

Inicialmente, temos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{k = 1}^n k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \cdot \binom {n}{k}} = \\\\\\ \mathsf{0 + 0 + 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \binom{n}{3} + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \binom{n}{4} + ... + n (n - 1)(n - 2) \cdot \binom{n}{n} =} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 3}^n k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \cdot \binom {n}{k}} =$


 Transformemos o produto dos três fatores iniciais em um número binomial:

$\\ \displaystyle \mathsf{k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) =} \\\\ \mathsf{3! \cdot \binom{k}{3}}$

 Note que: em 3!, o 3 corresponde à quantidade de termos; o numerador binomial corresponde ao maior termo; e, o denominador binomial à quantidade de termos.

 Vejamos alguns exemplos:

$\\ \displaystyle \mathsf{k \cdot (k - 1) = 2! \cdot \binom{k}{2}} \\\\\\ \mathsf{(k - 3) \cdot (k - 4) \cdot (k - 5) = 3! \cdot \binom{k - 3}{3}}$

  
 Isto posto, segue,

$\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{k = 3}^n k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \cdot \binom {n}{k}} = \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 3}^n 3! \cdot \binom{k}{3} \cdot \binom {n}{k} =} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 3}^n 3! \cdot \frac{k!}{3! \cdot (k - 3)!} \cdot \frac{n!}{k!(n - k)!}=} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 3}^n \frac{1}{(k - 3)!} \cdot \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3)!}{(n - k)!}=}$

$\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{k = 3}^n n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \frac{(n - 3)!}{(k - 3)!(n - k)!} =} \\\\\\ \mathsf{\sum_{k = 3}^n n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \binom{n - 3}{k - 3} =} \\\\\\ \mathsf{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \sum_{k = 3}^n \binom{n - 3}{k - 3} =} \\\\\\ \mathsf{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \left [ \binom{n - 3}{0} + \binom{n - 3}{1} + \binom{n - 3}{2} + ... + \binom{n - 3}{n - 3}\right ] =}$

 Agora Aks, para finalizar, aplicamos o TEOREMA DAS LINHAS (Triângulo de Pascal).

 Daí, concluímos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \left [ \binom{n - 3}{0} + \binom{n - 3}{1} + \binom{n - 3}{2} + ... + \binom{n - 3}{n - 3}\right ] =} \\\\\\ \boxed{\mathsf{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot 2^{n - 3}}}$


 Parabéns pela questão! Muito boa.