Question

Encontre a fórmula fechada dos n primeiros quadrados.


$\mathsf{S_n=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...+n^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2}$



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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Lei telescópica para os somatórios:

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=p}^q \big[f(k+1)-f(k)\big]=f(q+1)-f(p)}$

para p, q naturais, e $\mathsf{q\ge p.}$

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Encontrar uma fórmula fechada para a soma dos n primeiros quadrados:

$\mathsf{S_n=1^2+2^2+3^2+\ldots +n^2}\\\\ \mathsf{S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2}$

Nosso objetivo aqui será expressar o somando $\mathsf{k^2}$ de modo que apareçam diferenças entre termos consecutivos de alguma sequência. Assim, podemos usar a lei telescópica.

Divida e multiplique o somando por 3:

$\mathsf{S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{3}\cdot 3\cdot k^2}\\\\\\ \mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n 3k^2}$

Some e subtraia (3k + 1):

$\mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[3k^2+3k+1-(3k+1)\big]}$

Separe os somatórios:

$\mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n (3k^2+3k+1)-\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n (3k+1)}$

Sabemos que do cubo da soma de dois termos, temos

$\mathsf{k^3+3k^2+3k+1=(k+1)^3}\\\\ \mathsf{3k^2+3k+1=(k+1)^3-k^3}$

Então, a soma fica

$\mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n (3k+1)}\\\\\\ \mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \left[3\cdot \left(k+\frac{1}{3}\right)\right]}\\\\\\ \mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\sum_{k=1}^n \left(k+\frac{1}{3}\right)}$

O segundo somatório acima é a soma de uma P.A. Mas podemos manipulá-la para usar a lei telescópica também.

Divida e multiplique o somando por 2:

$\mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot\left(k+\frac{1}{3}\right)}\\\\\\ \mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(2k+\frac{2}{3}\right)}$

Some e subtraia 1:

$\mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(2k+1-1+\frac{2}{3}\right)}\\\\\\ \mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(2k+1-\frac{1}{3}\right)}$

Separe os somatórios:

$\mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n (2k+1)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n 1}\\\\\\ \mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n (2k+1)+\frac{1}{6}\sum_{k=1}^n 1}$

Sabemos que do quadrado da soma de dois termos, temos

$\mathsf{k^2+2k+1=(k+1)^2}\\\\ \mathsf{2k+1=(k+1)^2-k^2}$

e a soma fica

$\mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^2-k^2\big]+\frac{1}{6}\sum_{k=1}^n 1}\\\\\\ \mathsf{S_n=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^3-k^3\big]-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)^2-k^2\big]+\frac{1}{6}\sum_{k=1}^n \big[(k+1)-k\big]}$

Agora, aplicamos a lei telescópica aos três somatórios acima, e obtemos

$\mathsf{S_n=\dfrac{1}{3}\big[(n+1)^3-1^3\big]-\dfrac{1}{2}\big[(n+1)^2-1^2\big]+\dfrac{1}{6}\big[(n+1)-1\big]}$

Podemos simplificar a fórmula obtida acima. Reduzindo todos os termos ao mesmo denominador,

$\mathsf{S_n=\dfrac{2\big[(n+1)^3-1\big]}{6}-\dfrac{3\big[(n+1)^2-1\big]}{6}+\dfrac{n}{6}}\\\\\\ \mathsf{S_n=\dfrac{ 2\big[(n+1)^3-1\big]-3\big[(n+1)^2-1\big]+n}{6}}\\\\\\ \mathsf{S_n=\dfrac{ 2(n+1)^3-2-3(n+1)^2+3+n}{6}}\\\\\\ \mathsf{S_n=\dfrac{ 2(n+1)^3-3(n+1)^2+1(n+1)}{6}}$

Coloque (n + 1) em evidência:

$\mathsf{S_n=\dfrac{(n+1)\cdot \big[ 2(n+1)^2-3(n+1)+1\big]}{6}}$

Expanda os produtos e reduza os termos semelhantes:

$\mathsf{S_n=\dfrac{(n+1)\cdot \big[ 2(n^2+2n+1)-3(n+1)+1\big]}{6}}\\\\\\ \mathsf{S_n=\dfrac{(n+1)\cdot \big[2n^2+4n+2-3n-3+1\big]}{6}}\\\\\\ \mathsf{S_n=\dfrac{(n+1)\cdot (2n^2+n)}{6}}$

Finalmente, colocando n em evidência, chegamos a

$\mathsf{S_n=\dfrac{(n+1)\cdot n\cdot (2n+1)}{6}}$ <----- esta é a resposta.

Bons estudos! :-)

Tags: somatório soma telescópica polinômio fórmula soma dos quadrados dos naturais teoria dos números matemática discreta