Question

Encontre a fórmula fechada do somatório


$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n k(k-1)\cdot \binom{n}{k}}$


E expresse sua fórmula fechada em função de n.


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Considere a sequência numérica

     $a_k=k(k-1)\cdot \dbinom{n}{k}$


Observação:   Não consideraremos  k  indo de  0  até  n  a princípio, pois ao decorrer do desenvolvimento, serão feitos dois passos que não são válidos quando  k = n.  O primeiro é logo a seguir, onde aparece na fórmula da diferença o número binomial  $\dbinom{n}{k+1}.$ Outro motivo é que mais à frente, será preciso multiplicar e dividir por (n – k).

Então, faça a diferença entre dois termos consecutivos da sequência, considerando  0 ≤ k ≤ n – 1:

     $a_{k+1}-a_k\\\\\\ =(k+1)k\cdot \dbinom{n}{k+1}-k(k-1)\cdot \dbinom{n}{k}$


Coloque  k  em evidência,

     $=k\cdot \left[(k+1)\cdot \dbinom{n}{k+1}-(k-1)\cdot \dbinom{n}{k}\right]\\\\\\ =k\cdot \left[(k+1)\cdot \dfrac{n!}{(k+1)![n-(k+1)]!}-(k-1)\cdot \dbinom{n}{k}\right]\\\\\\ =k\cdot \left[(k+1)\cdot \dfrac{n!}{(k+1)\cdot k![n-(k+1)]!}-(k-1)\cdot \dbinom{n}{k}\right]\\\\\\ =k\cdot \left[\dfrac{n!}{k![n-(k+1)]!}-(k-1)\cdot \dbinom{n}{k}\right]$


Como  k < n  ⇒  n – k > 0.  Sendo assim, podemos multiplicar o numerador e o denominador da primeira fração por  (n – k):

     $=k\cdot \left[\dfrac{n!\cdot (n-k)}{k![n-(k+1)]!\cdot (n-k)}-(k-1)\cdot \dbinom{n}{k}\right]\\\\\\ =k\cdot \left[\dfrac{n!\cdot (n-k)}{k!(n-k)!}-(k-1)\cdot \dbinom{n}{k}\right]\\\\\\ =k\cdot \left[(n-k)\cdot \dbinom{n}{k}-(k-1)\cdot \dbinom{n}{k}\right]\\\\\\ =k\cdot \dbinom{n}{k}\cdot [(n-k)-(k-1)]\\\\\\ =k\cdot \dbinom{n}{k}\cdot [n-k-k+1]\\\\\\ =k\cdot \dbinom{n}{k}\cdot [n-2k+1]$


A ideia é fazer aparecer a lei da sequência inicial.  Sendo assim, some e subtraia  2  à expressão que aparece em colchetes:

     $=k\cdot \dbinom{n}{k}\cdot [n-2k+2-2+1]\\\\\\ =k\cdot \dbinom{n}{k}\cdot [n-2(k-1)-1]\\\\\\ =k\cdot \dbinom{n}{k}\cdot [(n-1)-2(k-1)]\\\\\\\\ \therefore~~a_{k+1}-a_{k}=(n-1)\cdot k\cdot \dbinom{n}{k}-2\cdot k(k-1)\cdot \dbinom{n}{k}\\\\\\ a_{k+1}-a_{k}=(n-1)\cdot k\cdot \dbinom{n}{k}-2a_k$


Aplique somatório com  k  indo de  0  a  n – 1  a ambos os lados. Do lado esquerdo aparecerá uma soma telescópica:

     $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})=\sum_{k=0}^{n-1}\left[(n-1)\cdot k\cdot \binom{n}{k}-2a_k\right]\\\\\\ a_n-a_0=(n-1)\sum_{k=0}^{n-1}k\cdot \binom{n}{k}-2\sum_{k=0}^{n-1}a_k$


Como foi pedido o somatório de  0  a  n,  tratamos o  n-ésimo termo do somatório separadamente:

     $\displaystyle a_n-a_0=(n-1)\left[\sum_{k=0}^n k\cdot \binom{n}{k}-n\cdot \binom{n}{n}\right]-2\left[\sum_{k=0}^n a_k-a_n\right]\\\\\\ a_n-a_0=(n-1)\sum_{k=0}^n k\cdot \binom{n}{k}-(n-1)n\cdot \binom{n}{n}-2\sum_{k=0}^n a_k+2a_n\\\\\\ a_n-a_0=(n-1)\sum_{k=0}^n k\cdot \binom{n}{k}-n(n-1)-2\sum_{k=0}^n a_k+2a_n$

     $\displaystyle 2\sum_{k=0}^n a_k=(n-1)\sum_{k=0}^n k\cdot \binom{n}{k}-n(n-1)+2a_n-a_n+a_0\\\\\\ 2\sum_{k=0}^n a_k=(n-1)\sum_{k=0}^n k\cdot \binom{n}{k}-n(n-1)+a_n+a_0\\\\\\ 2\sum_{k=0}^n a_k=(n-1)\sum_{k=0}^n k\cdot \binom{n}{k}-n(n-1)+n(n-1)\cdot \binom{n}{n}+0\\\\\\ 2\sum_{k=0}^n a_k=(n-1)\sum_{k=0}^n k\cdot \binom{n}{k}-n(n-1)+n(n-1)\\\\\\ 2\sum_{k=0}^n a_k=(n-1)\sum_{k=0}^n k\cdot \binom{n}{k}$


O somatório que aparece no lado direito é

     $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k\cdot \binom{n}{k}=n\cdot 2^{n-1}$

(ver anexo com o desenvolvimento desse somatório, feito de forma análoga)


Então, ficamos com

     $\displaystyle 2\sum_{k=0}^{n}a_k=(n-1)\cdot n\cdot 2^{n-1}\\\\\\ \sum_{k=0}^{n}a_k=\frac{n(n-1)\cdot 2^{n-1}}{2}\\\\\\ \sum_{k=0}^{n}a_k=n(n-1)\cdot 2^{n-2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\cdot \binom{n}{k}=n(n-1)\cdot 2^{n-2} \end{array}}$


Bons estudos! :-)