Question

Encontre a excentricidade da hip´erbole de v´ertices (0,−2) e (0,2) e ass´ıntotas 3y = ±2x.?​

Answer 1

Temos os seguintes dados:

$\underbrace{(0,−2) , \: (0,2)}_{hip \acute{e}rbole}\: \: e \: \: \underbrace{3y = \pm2x}_{ass \acute{i}ntotas}$

Como nós sabemos, as retas assíntotas de uma hipérbole possuem uma "fórmula", mas a mesma depende a posição do eixo real, tem-se:

$\bullet \sf\: ass \acute{i}ntotas \: com \: eixo \: real \: sobre \: o \: eixo \: x \\y = \frac{b}{a} x \: \: e \: \: y = - \frac{b}{a} x \\ \bullet \: \sf ass \acute{i}ntotas \: com \: eixo \: real \: sobre \: o \: eixo \: y \\ y = \frac{a}{b} x\: \: e \: \: y = - \frac{a}{b} x$

Com essas relações, já temos pistas dos valores dos eixos a e b. A questão também nos fala que essa hipérbole tem como vertices (0, -2) e (0,2), ou seja, como esses pontos tocam os eixo "y", quer dizer então que o valor do b = 2, logo podemos ver também pela assíntota 3y = ±2x que ela será do tipo em que o eixo real está sobre "x". Fazendo uma comparação dessas fórmulas:

$y = \pm \frac{b}{a} x \: e \: \: 3y = \pm2x \\ \\ y = \pm \frac{b}{a} x \: \: e \: \: y = \pm \frac{2}{3} x \\ \\ \boxed{ a = 3 \: \: e \: \: b = 2}$

Sabendo o valor de a e b, basta substituir os mesmos na relação em que tem-se a hipérbole com eixo real sobre o eixo "x":

$\frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1$

Substituindo os valores:

$\frac{x {}^{2} }{3 {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{2 {}^{2} } = 1 \longrightarrow \boxed{ \frac{x {}^{2} }{9} + \frac{y {}^{2} }{4} = 1}$

Agora temos a equação dessa hipérbole. A excentricidade é dada pela divisão do foco pela medida do vértice a, então teremos que primeiro encontrar o foco, para isso basta usar a relação de Pitágoras, só que um pouco diferente:

$c^2 = a^2 + b^2\\ c^2 = 9 + 4 \\ c^2 = 13 \\ c= \sqrt{13}$

Jogando esse dado na fórmula da excentricidade, tem-se:

$e=\frac{c}{a}\longrightarrow e = \frac{\sqrt{13}}{3}$

Espero ter ajudado