Question

Encontre a equação vetorial e as equações parametricas da reta que

passa pelo ponto (1,-2,3) e paralela ao vetor normal do plano que

contém os pontos (1,1,1), (2,1,1) e (1,-1,3).​

Answer 1

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que as equações vetoriais e paramétricas da reta são, respectivamente:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: (x, y , z) = (1, -2, 3) + \gamma(0, -2, -2) \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: \Large\begin{cases}x = 1\\ y = -2 - 2\gamma\\ z = 3 - 2\gamma\end{cases} \end{gathered}$

Sejam os seguintes dados:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}r : \Large\begin{cases}P = (1, -2, 3) \end{cases} \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\pi: \Large\begin{cases} A = (1, 1, 1)\\ B = (2, 1, 1)\\ C = (1, -1, 3)\end{cases}\end{gathered}$

Para encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas da reta "r", devemos:

• Determinar os dois vetores "u" e "v" coplanares ao plano:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u} = \overrightarrow{AB} \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}= B - A \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (2 - 1, 1 - 1, 1 - 1) \end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{u} = (1, 0, 0) \end{gathered}$

         

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{v} = \overrightarrow{AC} \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= C - A \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (1 - 1, -1 - 1, 3 - 1) \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{v} = (0, -2, 2)\end{gathered}$

• Calcular o produto vetorial entre "u" e "v":

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{n} = \vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 2\end{vmatrix}\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \begin{vmatrix} 0 & 0\\ -2 & 2\end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & 2\end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & -2\end{vmatrix}\vec{k} \end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (0, -2, -2) \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{n} = (0, -2, -2) \end{gathered}$

• Calcular a equação vetorial do plano:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}G = A + \lambda\vec{u} + \kappa\vec{v} \end{gathered}$

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}(x, y, z) = (1, 1, 1) + \lambda(1, 0, 0) + \kappa(0, -2, 2) \end{gathered}$

• Determinar a equação vetorial da reta:

        Sabendo que a reta passa pelo ponto "P" e é paralela ao vetor normal "n" do plano, então o vetor diretor da reta é igual ao vetor normal.

✅  Neste caso, a equação vetorial da reta "r" é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}H = P + \gamma\vec{n} \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: (x, y , z) = (1, -2, 3) + \gamma(0, -2, -2) \end{gathered}$

✅ As equações paramétricas da reta "r" são:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: \Large\begin{cases}x = 1\\ y = -2 - 2\gamma\\ z = 3 - 2\gamma\end{cases} \end{gathered}$

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Solução gráfica: