Question

Encontre a equação reduzida da reta que passa em A (1, 6) e em B (3, 10). Para isso, utilize os dois modos possíveis.

Answer 1

y = 2x + 4

Explicação passo-a-passo:

Modo 1

A equação de uma reta tem a seguinte forma:

$y = ax + b$

onde a é o coeficiente angular e b o termo independente.

Vamos substituir os pontos na equação geral.

Para o ponto A(1, 6), x = 1 e y = 6:

$y = ax + b \\ 6 = a + b$

Agora para o Ponto B(3, 10), x = 3 e y = 10:

$y = ax + b \\ 10 = 3a + b$

Com isso é possível achar através de um sistema quem são a e b.

$(6 = a + b) \times - 1 \\ 10 = 3a + b \\ \\ - 6 = - a - b \\ 10 = 3a + b \\ 10 - 6 = 3a - a + b - b \\ 4 = 2a \\ a = \frac{4}{2} = 2$

Multiplicando a primeira linha por -1 e depois somando as equações chegamos ao valor de a. Para achar o valor de b é só substituir em qualquer uma das equações:

$6 = a + b \\ 6 = 2 + b \\ b = 6 - 2 = 4$

Achando b já é possível achar a reta correspondente, basta substituir a por 2 e b por 4:

$y = 2x + 4$

Modo 2

O coeficiente angular pode ser achado pela diferença entre os pontos. Vamos chamar ele de a. Imagine como um ∆, pegamos o valor final e retiramos do inicial. No caso o ponto final é B e o inicial é A.

$a = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} \\ a = \frac{10 - 6}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

E usando essa mesma forma, de a podemos achar a reta usando apenas um dos pontos, nesse caso o ponto A. Mas a diferença é que o y final e o x final não iremos colocar.

$a = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} \\ a = \frac{y - 6}{x - 1} \\ a(x - 1) = y - 6 \\ 2(x - 1) = y - 6 \\ 2x - 2 = y - 6 \\ y = 2x - 2 + 6 \\ y = 2x + 4$

Perceba que o valor é o mesmo que no modo anterior, mas é relativamente mais simples.