Question

Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por 3Y=X^2

Answer 1

3y=x^2

Lembrando que:

X = r cos θ
Y = r sen θ

3 r sen θ = ( r cos θ)^2
3 r sen θ = r^2 cos^2θ
3 senθ = r cos^2θ

r = 3 senθ / cos^2θ
r = 3 senθ / cosθ × cosθ
r = 3 tg θ sec θ

Answer 2

✅ Após o desenvolvimento da questão, concluímos que a equação polar referente a equação cartesiana fornecida é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \tau = 3\:tg\:\theta\:sec\:\theta\:\:\:}} \end{gathered} }$

Seja a equação cartesiana dada:

1ª                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}3y = x^{2} \end{gathered}$

Se desejamos converter a equação cartesiana para a sua respectiva forma polar, devemos lembrar que:

            $\Large\begin{cases}x = \tau\cdot cos(\theta)\\y = \tau\cdot sen(\theta) \end{cases}$

Substituindo os valores de "x" e "y" na 1ª equação, temos:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}3(\tau\cdot sen\:\theta) = (\tau\cdot cos\:\theta)^{2}\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}3\tau\cdot sen\:\theta = \tau^{2}\cdot cos^{2}\:\theta\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}3\cdot sen\:\theta = \tau\cdot cos^{2}\:\theta \end{gathered}$

Chegando neste ponto, devemos isolar "tau" no primeiro membro, ou seja:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tau = \frac{3\cdot sen\:\theta}{cos^{2}\:\theta} \end{gathered} }$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 3\cdot\frac{sen\:\theta}{cos\:\theta}\cdot\frac{1}{cos\:\theta} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 3\cdot tg\:\theta\cdot sec\:\theta \end{gathered}$

Portanto, a equação polar é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tau = 3\: tg\:\theta\:sec\:\theta \end{gathered}$

Saiba mais:

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