Question

Encontre a equação geral para parábola de vértice V(4, 2) e foco F(1, 2)

Answer 1

Olá!

Note que as coordenadas y dos pontos F e V são iguais. Por esse motivo, eles se encontram na mesma reta horizontal. Assim, podemos afirmar que a nossa parábola está na horizontal.

Veja também que a coordenada x de F é menor que a de V, isto é, F está à esquerda de V. Desse modo, podemos concluir que, além de a parábola ser horizontal, sua concavidade está virada para a esquerda. 

Logo, a equação da nossa parábola pode ser escrita como:

$(y-y_0)^2=-2p(x-x_0)$

Onde $(x_0,y_0)$ são as coordenadas do vértice. Então, $(x_0,y_0)=(2,4)$. Substituindo:

 $(y-2)^2=-2p(x-4)$

Além disso, $p$ é o parâmetro da parábola, que é a distância entre o vértice e a diretriz da parábola ou, em outras parábolas, o dobro da distância entre o foco e o vértice (FV). Desse modo, vamos calcular a distância FV:

$FV=\sqrt{(x_V-x_F)^2+(y_V-y_F)^2}\\\\ FV=\sqrt{(4-1)^2+(2-2)^2}\\\\ FV=\sqrt{3^2+0^2}\\\\ FV=\sqrt{9+0}=\sqrt{9}\\\\ FV=3~u.c.$

Como dito anteriormente, $p=2\cdot FV\Longrightarrow p=2\cdot3\Longrightarrow p=6~u.c.$. Portanto, a equação da parábola é:

$(y-2)^2=-2p(x-4)\\\\ (y-2)^2=-2\cdot 6\cdot(x-4)\\\\ (y^2-4y+4)=-12\cdot(x-4)\\\\ y^2-4y+4=-12x+48\\\\ \boxed{12x+y^2-4y-44=0}$

Answer 2

Resposta:

y2 + 12x - 4y - 44 = 0

Explicação passo a passo: