Matemática, perguntado por pcfigueiredof, 8 meses atrás

Encontre a equação da reta tangente e normal à curva f(x) = √x
no ponto x0 = 4

Soluções para a tarefa

Respondido por marciocbe

Resposta:

Olá bom dia!

Considere y = f(x) = $\sqrt{x}$

f(4) = $\sqrt{4} = 2$

Deseja-se obter as retas tangente e normal no ponto xo = 4 e yo = 2

A equação geral da reta é:

y - yo = m (x - xo)

onde m é o coeficiente angular da reta.

m é obtido através da derivada da função f(x) no ponto xo = 4.

Como f(x) = $\sqrt{x} =x^{\frac{1}{2} }$ a derivada f'(x) será:

$f'(x)= \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} } \\\\f'(x)= \frac{1}{2x^{\frac{1}{2} }} \\\\f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x} }$

No ponto xo = 4:

$f'(4) =\frac{1}{2\sqrt{4} } = \frac{1}{4} \\\\$

Então o coeficiente angular da reta tangente a y = f(x) = $\sqrt{x}$ no ponto xo = 4 e yo = 2 é:

m = $\frac{1}{4}$

A equação da reta tangente é:

y - 2 = $\frac{1}{4}$ ( x - 4)

y - 2 = $\frac{1}{4} x - (\frac{1}{4}.4)$

y - 2 = $\frac{1}{4} x - 1$

y = $\frac{1}{4} x + 2 - 1$

y = $\frac{1}{4} x + 1$ => equação da reta tangente

A reta normal (n) é perpendicular à reta tangente (t). A relação entre os coeficientes angulares dessas retas é:

$m_{n} = -\frac{1}{m_t}$

Então:

$m_n=-\frac{1}{\frac{1}{4} } \\\\m_n =-4$

Logo a equação da reta normal no ponto xo = 4 e yo = 2 :

y - 2 = -4 (x - 4)

y = -4x + 16 + 2

y = -4x + 18 => equação da reta normal

pcfigueiredof: Obrigado. A resposta está certa!

pcfigueiredof: Só nao entendi muito bem essa parte Como f(x) = a derivada f'(x) será:

marciocbe: f'(x) é a derivada de f(x)

marciocbe: usei o verbo errado, queira perdoar

marciocbe: x^n derivando fica

marciocbe: (n) x ^ n-1

Respondido por solkarped

✅ Depois de ter resolvido todos os cálculos, concluímos que as equações das retas tangente e normal à referida curva pelo ponto de abscissa "4" são, respectivamente:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = \frac{x}{4} + 1 \:\:\:}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n: y = -4x + 18\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Se nos foi dado:

$\Large\begin{cases}f(x) = \sqrt{x}\\x_{0} = 4 \end{cases}$

Se estamos procurando tanto a reta tangente "t" quanto a reta normal "n" à curva "f(x)" no ponto de abscissa "4", então devemos utilizar a equação da reta em sua forma ponto declividade.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}Y - Y_{T} = m_{T}(X - X_{T}) \end{gathered}$}$

Para utilizarmos tal fórmula, devemos ter o ponto de tangência "T" e os coeficientes angulares de ambas as retas.

Então, para resolver a questão, devemos:

Calcular o ponto de tangência:

Para calcular o ponto de tangência devemos utilizar a seguinte estratégia:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}T = (X_{T}, Y_{T}) \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= [x, f(x)] \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= (x, \sqrt{x}) \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= (4, \sqrt{4}) \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= (4, 2) \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore\:\:\:T(4, 2) \end{gathered}$}$

Calcular o coeficiente angular da reta "t":

Sabendo que o coeficiente angular "mt" da reta "t" é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas no seu sentido positivo, o que também pode ser interpretado como sendo a derivada primeira à curva pelo ponto de tangência "T", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}m_{t} = f'(x) \end{gathered}$}$

Se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}f(x) = \sqrt{x}\Longleftrightarrow\:\:\:f(x) = x^{\frac{1}{2} }\end{gathered}$}$

Prosseguindo com o cálculo, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}m_{t} = f'(4)^{\frac{1}{2} } \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{1}{2}\cdot4^{\frac{1}{2} - 1} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{1}{2}\cdot4^{-\frac{1}{2} } \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4^{\frac{1}{2} }} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{4}} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{1}{4} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore\:\:\:m_{t} = \frac{1}{4} \end{gathered}$}$

Montar a equação da reta tangente "t":

Substituindo os valores das coordenadas do ponto de tangência "T" e o coeficiente angular "mt" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y - 2 = \frac{1}{4}(x - 4) \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y - 2 = \frac{x}{4} - \frac{4}{4} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y - 2 = \frac{x}{4} - 1 \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y = \frac{x}{4} - 1 + 2 \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y = \frac{x - 4 + 8}{4}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y = \frac{x + 4}{4} \end{gathered}$}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}t: y = \frac{x}{4} + 1 \end{gathered}$}$

Encontrar o coeficiente angular da reta normal "n":

Sabendo que a reta "normal" é perpendicular à reta "tangente", então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}m_{t}\cdot m_{n} = -1\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\frac{1}{4}\cdot m_{n} = -1\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:m_{n} = -4 \end{gathered}$}$