Question

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de (y+x)^2.y=4 no ponto (1,1)

Answer 1

A questão pede a equação da reta tangente à curva  $(\text x+\text y)^2.\text y = 4$, no ponto (1,1)

a equação da reta será do tipo :

$\text y - 1 =\text m(\text x -1)$

para achar o coeficiente angular ( m ), vamos derivar a curva implicitamente :

$\text m = [(\text x+\text y)^2.\text y = 4]'$

$\text m \to 2(\text x+\text y)(\text x + \text y)'.\text y + (\text x + \text y )^2.\text y' =0$

$\text m \to 2(\text x+\text y)(\text 1 + \text y').\text y + (\text x + \text y )^2.\text y' =0$

substituindo o ponto (1,1) :

$\text m \to 2(1+1)(\text 1 + \text y').1 + (1+1 )^2.\text y' =0$

$\text m \to 2.2(\text 1 + \text y').1 + 2^2.\text y' =0$

$\text m \to 4 + 4\text y' + 4\text y' =0$

$\text m \to 8\text y' =-4$

$\text m \to \displaystyle \text y' =\frac{-4}{8}$

$\displaystyle \boxed{\text m \to \text y'=\frac{-1}{2}}$

Agora é só substituir na equação da reta :

$\text y - 1 =\text m(\text x -1)$

$\displaystyle \text y - 1 =\frac{-1}{2}(\text x -1)$

multiplicando os dois lados por 2 :

$2 \text y - 2 =-1(\text x -1)$

$2 \text y - 2 =-\text x +1$

portanto a equação da reta tangente à curva é :

$\huge\boxed{\text x + 2 \text y - 3=0 }$

(imagem do gráfico )