Question

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^2 + 1 em x = 2.​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = x {}^{2} + 1$

A questão quer saber qual a equação da reta tangente a essa curva no ponto em que x = 2, para isso devemos usar o artifício chamado DERIVADA. Antes de tudo, vamos consolidar o ponto em que essa reta passa na curva, para isso basta substituir o valor de "x" na função da curva:

$\sf f(2) = 2 {}^{2} + 1 \\ \sf f(2) = 4 + 1 \: \: \\ \sf f(2) = 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto sabemos que o ponto é: $P(2,5)$

Agora devemos encontrar o coeficiente angular, se você bem lembrar, a definição algébrica de derivada é justamente o coeficiente angular, ou seja, ela representa o valor de m:

$\sf m = \frac{d}{dx} (x {}^{2} + 1) \\ \sf m = 2x {}^{2 - 1} + 0 \: \: \\ \sf m = 2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor da abscissa:

$\sf m = 2x \: \: para \: x = 2\\ \sf m = 2.2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf m = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora é só substituir os dados na equação fundamental da reta:

$\sf P(2,5) \: \: e \: \: m = 4\\ \sf y - y_0 = m.(x - x_0) \\ \sf y - 5 = 4.(x - 2) \: \: \: \: \\ \sf y - 5 = 4x - 8 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf y = 4x - 8 + 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ \boxed{ \sf y = 4 x- 3}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado