Question

Encontre a equação da reta tangente à função: f(x)=2cos(3x) no ponto x0=pi/2.
a)y = 2 cos (3pi/2)
b)y = 2sin(3pi/2)
c)y = 6x - 3pi
d)y= x +pi/2
e)Nenhuma das opções acima

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações de retas tangentes e derivação.

Seja uma curva $\mathcal{C}$ dada pelo gráfico de uma função $f(x)$, contínua e derivável em $(x_0,~y_0)$, um ponto do seu domínio. A equação da reta tangente à função neste ponto é dada pela fórmula: $\boxed{y=y_0+f'(x_0)\cdot(x-x_0)}$.

Assim, seja a função $f(x)=2\cos(3x)$. Devemos encontrar a equação da reta tangente à curva em $x_0=\dfrac{\pi}{2}$.

Primeiro, calculamos a ordenada $y_0=f(x_0)$.

$y_0=2\cos\left(3\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)$

Multiplique os termos e calcule o valor da função cosseno

$y_0=2\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\\\\\\ y_0=0$.

Agora, calculamos a derivada da função

$f'(x)=[2\cos(3x)]'$

Lembre-se que:

• A derivada do produto entre duas funções, em que uma delas é uma constante é dada por: $[a\cdot g(x)]'=a\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $[g(h(x))]'=h'(x)\cdot g'(h(x))$.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $[x^n]'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra do produto

$f'(x)=2\cdot[\cos(3x)]'$

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada da função cosseno

$f'(x)=2\cdot [3x]'\cdot (-\sin(3x))$

Aplique novamente a regra do produto e calcule a derivada da potência

$f'(x)=2\cdot 3\cdot 1\cdot(-\sin(3x))$

Multiplique os termos

$f'(x)=-6\sin(3x)$

Calcule $f'(x_0)$

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-6\sin\left(3\cdot \dfrac{\pi}{2}\right)$

Multiplique os termos e calcule o valor da função seno

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-6\cdot\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\\\\\\ f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-6\cdot(-1)\\\\\\ f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=6$

Substitua os resultados que encontramos na fórmula para a equação da reta tangente

$y=0+6\cdot\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y=6x-\dfrac{6\pi}{2}$

Simplifique a fração

$y=6x-3\pi$

Esta é a equação da reta tangente à curva e é a resposta contida na letra c).

Answer 2

Resposta

Olá boa noite!

A equação geral de uma reta é dada por:

Y - Yo = m (X-Xo)

Onde m é o coeficiente angular da reta.

Esse coeficiente é determinado pela derivada da função f(x) num ponto específico, no caso x = π/2.

Primeiramente, deve-se derivar f(x) = 2 cos(3x).

Para isso, aplica-se algumas regras:

Regra da constante:

u = k . u

u' = (k.u)'

u' = k (u)'

(2 . cos 3x)' = 2(cos 3x)'

Regra da cadeia:

(cos 3x)' = (cos3x)' . (3x)' = -sen3x . 3

Logo:

f'(x) = 2 . -sen 3x . 3

f'(x) = -6 sen 3x

No ponto x = π/2

f'(π/2) = -6 sen(3π/2)

f'(π/2) = - 6.1

f'(π/2) = - 6

Então -6 é o coeficiente angular da reta tangente a f(x). A equação será:

y - 0 = -6 (x - π/2 )

y = -6x + 6π/2  

y = -6x + 3π

Alternativa correta letra C