Question

Encontre a equação da reta tangente à elipse x²+xy+y²=4 no ponto de abscissa $x=\frac{2\sqrt{3} }{3}$

Answer 1

Resposta:

y = -4√3/3

e

3y = -3x + 4√3

Explicação passo-a-passo:

x² + xy + y² = 4 (Derivando implicitamente)

2x + x.y' + y.1 + 2yy' = 0

y'(x + 2y) = -2x - y ⇒ y' = -(2x + y)/(x + 2y)

Cálculo dos pontos de tangências. Substituir x = 2√3/3 na equação.

(2√3/3)² + 2√3/3y + y² = 4 ⇒ 12/9 + (2√3/3)y + y² - 4 = 0

12 + 6√3y + 9y² - 36 = 0 ⇒ 9y² + 6√3y - 24 = 0 ⇒ 3y² + 2√3y - 8 = 0

Δ = (2√3)² - 4.3(-8) = 12 + 96 = 108

y = (-2√3 - 6√3)/2.3 ⇒ y = (-√3 - 3√3)/3 ⇒ y = -4√3/3 ⇒ A(2√/3, -4√3/3)

ou

y = (-2√3/3 + 6√3)/2.3 ⇒ y = (-√3 + 3√3)/3 ⇒ y = 2√3/3 ⇒ B(2√3/3, 2√3/3)

Cálculo do coeficiente angular.

y' = -(2x + y)/(x + 2y)

y'(2√3/3, -4√3/3) = -(2.2√3/3 - 4√3/3)/[2√3/3 +2(-4√3)/3]

y' = -0/-2√3 ⇒ y' = 0  ou

y'(2√3/3, 2√3/3) = - (2.2√3/3 + 2√3/3)/(2√3/3 + 2.2√3/3)

y' = -(2√3/3)/ 2√3/3) ⇒ y = -1

Equação da reta

y - yA = y'(x - xA)

y + 4√3/3 = 0 (x - 2√3/3) ⇒ y = -4√3/3  (Uma das equações da reta).

y - 2√3/3 = 0(x - 2√3/3) ⇒ y = 2√3/3 (Essa não serve, pois é secante a ao gráfico da elipse)

y + 4√3/3 = -1(x - 2√3/3) ⇒ 3y + 4√3 = -3x + 6√3

3y = - 3x + 2√3 ( não serve pois é secante, à elipse)

y - 2√3/3 = -1(x - 2√3/3) ⇒  3y - 2√3 = -3x + 2√3

3y = -3x + 4√3